逻辑、策略与经典模型 · 图论
先查连通，再数奇点，用回路拼接把路线构造出来。
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左、右两个三角形共用顶点 O，边为 OA、AB、BO、OC、CD、DO。每条边恰好走一次，顶点允许重复经过，能否从 O 出发再回到 O？再加一条 OF，会怎样？圆点 I 没有连接边。
初始：O为4度，A、B、C、D各2度，I为0度。有边部分连通。
对应左侧当前图形
0 个奇点
先核对连通与度数，再点击下一步逐边走。青绿粗线表示已走过的边，圆点只表示顶点。
度数从整张图计算，不随行走减少；已走边数另行显示。金色填充和“奇”字共同标记奇度顶点。
会判断奇偶、成对计数和读简单连线图。顶点（vertex）表示连接点，边（edge）表示可走的线段或曲线，度（degree）是接在一个顶点上的边端数。奇度顶点简称奇点，偶度顶点简称偶点。
本页 S 班深度是项目编排，重点为证明、构造和反例，不声称是特定机构官方课纲。例题和练习均为自拟。
不抬笔、不重复边、不漏边。允许反向走边，也允许多次经过同一顶点。这样的路线称为欧拉迹（Euler trail）；起终点相同则为欧拉回路（Euler circuit）。它与“每个顶点恰好访问一次”的问题不同。
本页讨论有限无向图，至少有一条边。曲线长短和绘制比例不影响判定。平行边分别计数；自环在同一顶点接入两端，度数增加2。只有明确标作连接点的交叉才算顶点；桥梁上下跨越而不接通时不能在交叉处换路。
先忽略孤立点（度为0的点）。剩余部分连通时：奇点0个，可以一笔闭合；奇点2个，可以从一个奇点走到另一个奇点；奇点超过2个，不能一笔画。若剩余部分不连通，无论奇点数多少，都不能走完全部边。
对不是起终点的顶点，每次进入都必须沿另一条未用边离开，使用的边端成对。要走完所有边，它的度必须为偶数。起点和终点若不同，起点先有一次离开，终点最后有一次进入，各多出一个未配对的边端，因此恰好这两点是奇度。起终点若相同，最先离开和最后进入也能配对，于是所有顶点偶度。
任何一条边都贡献两个边端，所以度数总和为 2m（m为边数）。偶数度的总和为偶数，奇数度的个数也必为偶数。因此“不可能只有1个或3个奇点”是对图本身的约束，不能靠反复试走改变。
设两个奇点为 u、v，临时添加一条 u—v 边（即使已有同端点边，也把临时边看作独立平行边）。u、v的度各增加1，全部变偶，且仍连通。由上面的拼接法得到欧拉回路。把回路在临时边处剪开，并删除临时边，剩下的就是原图从一个奇点到另一个奇点的欧拉迹。临时边只用于证明，不是原题中允许额外行走的路。
“随便走都能直接完成”并非结论。任取未用边可能先形成一个小闭回路；若还有边，须保留回路并继续拼接。存在路线与某次贪心走法成功，是两件事。
无向图边为 OA、AB、BO、OC、CD、DO，另有孤立点 I。问能否一笔闭合？若再加 OF，能否一笔闭合、一笔不闭合？请给路线。
不能从A开始走完加尾边后的全部边，因为A是偶点，不能充当两个不同端点中的一个。
无向图有 A、B、C、D 四个顶点，每两点之间恰有一条边，六条边为 AB、AC、AD、BC、BD、CD。允许在任意两点间新加独立边，平行边可以。最少添加几条边能一笔画？最少添加几条才能一笔闭合？
平行边必须分别编号检查。若题目禁止重边或限制可添加的位置，最小值需要重新分析，本题结论不能直接照搬。
正方形 A—B—C—D—A（按周边次序），屋顶点E分别连B、C。仅有 AB、BC、CD、DA、BE、CE 六条边，没有其他边。能否一笔画？能否从E出发？给出一条合法路线。
A、D、E各2度，B、C各3度；图连通，恰有两个奇点B、C。因此可以从B到C或反向，不能从偶点E出发。
路线为 B→A→D→C→B→E→C。依次用 BA、AD、DC、CB、BE、EC，六边不同且完整，起于B终于C。度数和2＋3＋3＋2＋2=12=2×6。
图由两个没有共同点、没有连接边的三角形 A—B—C—A 与 D—E—F—D 组成，另有孤立点I。能否一笔画？若只加一条新边C—D，能否一笔画、能否闭合？给路线。
原图六个非孤立顶点都是2度，但忽略I之后仍有两个含边分量，不能一笔画。孤立点I不是失败原因，两个三角形分离才是。
补CD后，有边部分连通，C、D各从2度变3度，其余为2度，恰好两个奇点，所以可以一笔画而不能闭合。路线 C→A→B→C→D→E→F→D，共7条边，起终点C、D。补一条边同时改变了连通性和两端度的奇偶。
| 说法 | 核查与反例 |
|---|---|
| 奇点0个，就一定能一笔画 | 分离的两个三角形反例：仍须先查有边部分连通。 |
| 只要图连通就可以 | 四支路星形连通，4个叶顶点奇度，仍不可以。 |
| 经过同一个顶点两次就是重复 | 限制对象是边。双三角形必须多次经过O。 |
| 起点随便选 | 有两个奇点时必须选一个奇点起步；全偶图可从任意有边顶点开始。 |
| 平行边算一条，自环算一次 | 平行边独立计数；自环贡献2个边端，度增加2。 |
| 线条交叉必能转弯 | 要看是否为真实连接点；桥梁交叉且不接通不能换路。 |
做题顺序：明确连接关系和边的身份 → 忽略孤立点并查连通 → 数度和奇点 → 确定端点 → 拼接回路 → 按边清单逐条验算。
本页不讨论有向边的判据，也不求所有路线的数量。没有边的退化图可约定为长度0的行走，但不属于本页“至少有一条边”的判据范围。
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一笔画要求每条边恰好走一次，顶点可以重复。先看所有有边的部分是否连通。
两个三角形共用顶点O。O连着四条边，其余顶点各连两条，所以没有奇度顶点。
为什么看奇偶？每经过一个中途顶点，进入和离开的两条边配成一对。
只有不同的起点和终点，才能各剩一条。因此奇度顶点只能有零个或两个。
零个奇点时，先从O走完左三角形，回到O。右边还有边，不能就此结束。
在O插入右三角形的闭回路，就把两段拼成一笔。有限条边，每次加入新边，最终走完。
再给O加一条通往F的尾边。O变成五度，F是一度，恰有两个奇点。
从F出发，经O走完两个三角形，最后停在O。两个奇点必须是起点和终点。
注意：没有边的孤立点可以忽略。但两块互不相连的三角形，即使全部偶度，也不能一笔走完。
记住顺序：先查连通，再数奇点，最后构造并检查每条边恰好一次。
图形只表示连接关系，不表示实际距离、行走速度或比例。青绿为已走边，金色并标“奇”的顶点为奇点。演示中的度数是原图度数。孤立点I在可行模型中保留，用于说明“忽略孤立点后连通”的条件。
定理参考 Oscar Levin 的 Euler Trails and Circuits；本页采用进出配对与回路拼接自行展开证明。例题和练习是自拟教学题。