立体几何与空间模型
把空间形状写成高度表，用行列最高值约束每一格。
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自拟问题：同样大的单位方块放在2×2方格上，四格均占用，每根竖柱从地面连续堆起，不允许悬空或缺层。从正面看，左、右两列最高分别为2、3；从右侧看，前、后两排最高分别为3、2。求最少、最多块数。
有限步骤演示 · 用高度表记录堆法
第1步 / 共5步：先铺底层
| 位置 | 左列 | 右列 |
|---|---|---|
| 前排 | 1 | 1 |
| 后排 | 1 | 1 |
当前正面：1、1；右侧前后：1、1。尚未满足全部目标。
当前：底层方案
4块
四格都占用，所以至少有4块；还没有满足正面2、3与右侧3、2。
左图为斜视示意，不能靠可见面数块。高度表前排写在上、后排写在下；列从左到右。演示中间状态可能尚未满足目标投影。
学习目标：由三视图写出高度限制；理解多解；用下界与构造求最少，用逐格上限与复核求最多。前置知识：行列定位、整数比较、单位正方体、简单求和与分类讨论。
本页的三视图是沿坐标轴方向的正交投影（Orthographic projection），忽略透视缩小。正面从前向后看，水平方向是左、右列；右侧从右向左看，本页将其水平位置明确标为前、后排；俯视只记录每个地格是否被占用，不直接给出高度。不靠旋转图像猜左右。
本页属于S班空间模型训练。A/S是项目的教学深度编排，不代表当地官方课纲；本主题不标作六上必学。例题与练习均为自拟题。
设 hy,x 是第 y 排、第 x 列的竖柱高度。占地格的高度是正整数，未占地格为0。排按前到后、列按左到右排列。因为同柱没有缺层，柱高就是这一柱的块数，总块数 N 为所有 h 的和。
正面看时，同列不同排会重叠。高度为 h 的柱覆盖第1至第 h 层，因此这些连续竖段的并集是第1层至最高层。故正面第 x 列的高度 Fx 等于该列所有 h 的最大值。同理，右侧第 y 排高度 Ry 等于该排所有 h 的最大值。
所以，每个已占格的上限 U 是 F 与 R 中较小的一个；未占格的上限必须是0。每行、每列还必须各有一格真正达到自己的目标高度，只满足“不超过”并不够。
任何可行方案逐格不超过 U，故总块数不超过所有 U 的和。若 U 的行最大值、列最大值恰好等于目标，U 本身就可行，最多值达到。若某行或某列达不到目标，任何更低的表也无法补救，说明原条件无解。每个已占格的上限还必须至少为1。
每个占地格先放1块；然后考虑哪些格必须加高。同一根高柱可能同时承担行和列的要求，不能把所有投影高度直接相加。对小模型可逐一安放必要的高柱，说明至少需要的增量，再展示恰好达到下界的合法堆法。没有下界证明，一种较省的堆法只能证明“最少不超过它”。
例题一 · 2×2满占地
条件同开头，四格均占用、无悬空。高度表写成“前排；后排”。
把最少方案的前排左格从1升到2，得前排[2,3]、后排[2,1]，总数8，三视图仍相同。所以这个具体问题的可能总数恰为7、8、9；不能据此宣称所有三视图问题的可行总数必然连续。
例题二 · S班结构变式：L形占地
无悬空、无缺层。正面左右高度[2,2]，右侧前后高度[2,2]，求最少与最多。后排右格未占用，必须为0。
若误把后排右格也填到2，就破坏L形俯视图。俯视轮廓是约束，不能在求最多时忽略。
两排三列六格全占用，连续着地。正面左到右[2,1,2]，右侧前到后[2,2]。求最少、最多，并写出达到它们的高度表。
底层6块。两排都要达到2，每排至少新增1块，故至少8块。构造前排[2,1,1]、后排[1,1,2]，行最大都为2，列最大为[2,1,2]，共8块，所以下界达到。
逐格上限：两排都是[2,1,2]，和为2×(2＋1＋2)=10；该表满足投影与占地，所以最多10块。最少8块，最多10块。中列目标为1，不能为了补块把中列升到2。
2×2占地只包括前排左格、后排右格，另两格为空。连续着地。正面左右为[2,1]，右侧前后为[1,2]。是否有解？
正面左列高度2，只能由前排左格提供，所以这个格必须为2；但前排的右侧高度为1，同一个格又必须不超过1，矛盾。后排右格也被要求同时为1与2。因此无解，不能讨论一个实际可达到的最少值。
按逐格上限检验，前排左格为 min(1,2)=1，后排右格为 min(2,1)=1，两个空格为0。填到所有上限后，正面只能得到[1,1]，仍达不到目标[2,1]，无解得到再次核查。
| 容易混淆 | 核查方法 |
|---|---|
| 把投影高度当该方向的总块数 | 投影重叠，只记录该行或列的最大高度。 |
| 同样三视图一定同样块数 | 例一7块与9块给出直接反例。 |
| 行列高度都不超标就算满足 | 每个目标还必须由至少一格达到；例一底层4块不超标却不合法。 |
| 求最少只展示一张表 | 补上任何合法堆法都不能低于它的证明。 |
| 求最多忽略俯视缺格 | 空格固定为0，不能擅自补上；L形例题就是边界。 |
| 看见的面数或方块数就是总数 | 用高度表记录被遮住的方块；不依据斜视外观猜测。 |
回顾：固定方向 → 标记占地 → 高度表取行列最高 → 检查可行性 → 最少给下界和构造 → 最多给逐格上限和复核。每一步都保留连续着地的条件。
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单位方块从地面连续堆起，不留空层。俯视四格全满，正面两列最高为二、三，右侧前后两排为三、二。
本图正面从前向后看，右侧从右向左看。投影里的最高值，不是这一列的方块总数。
先按俯视图铺底层。四个格子都被占用，所以至少需要四块。
前排必须达到三层。在前排右格加两块，同时满足右列的三层要求。
后排还要达到两层。在后排左格再加一块，也满足左列两层。四加二加一等于七。
这是下界，也是实际可堆出的方案。因此最少七块，而不只是猜到一种较小的堆法。
每格都不能超过它所在排和列的最高值。取这两个限制中较小的数。
四格上限依次是二、三、二、二。补满后总共九块，重新核查三个方向，仍然符合。
七块与九块的三视图相同。三视图一般不能唯一确定总块数。
如果俯视有缺格，要把缺格保持为零，再检查可行性。最少块数需要下界和构造，不能随便套一个公式。
数学依据为本文给出的投影并集证明、上下界证明与实际构造；题目均为自拟模型题。单位方块示意用于识别层数和行列，不通过透视图测量长度。本页视频、章节和文字稿使用同一实测音频时间轴。