计算与数列 · 方法讲解
用有方向的上下界，锁定整数部分。
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不求精确值，确定 S=1/2＋1/3＋…＋1/10 的整数部分。每一步都给出有保证方向的界，直到把S放进相邻两个整数之间。
先看区间，再下结论
共有 9 个正项，每项不超过 1/2。这个界正确，但跨过多个整数，不能确定整数部分。
第 0 / 3 步
演示结论
1
要同时跨过1，又不能到达2。
近似值不自动成为上界或下界。保留正项给下界，逐项向上放宽给上界，再检查端点是否严格。
S班 · 方法单元 10
不必知道一个和的精确值，也能确定它跨过了哪个整数、还没到哪个整数。关键是为每一次放宽负责。
正有理数方向估算缺口结构A/S 为本项目教学编排，不代表当地官方或机构课纲。
分数四则运算、正分数大小比较、有限小数与分数互化、不等号含义。
本页的整数部分：对非负数 x，找到唯一非负整数 m，使 m ≤ x < m＋1。它不是四舍五入。
把目标数 S 限制在一个区间内。下界 L 表示 S 不小于它，上界 U 表示 S 不大于它。若能证明 m ≤ S < m＋1，S 的整数部分就只能是 m。
区间示意不按数值比例绘制。上端开、下端闭，二者不对称。
若 a ≤ A、b ≤ B，则 A−a 与 B−b 都非负，所以 (A＋B)−(a＋b) ≥ 0，即 a＋b ≤ A＋B。若其中至少一个差严格为正，和也严格变大。下界同理。
要证 S 小于某数，就把各项换成更大或相等的数；要证 S 大于某数，就换成更小或相等的数。正数和还可删去部分正项，得到严格下界。
例如 1/3 < 34/100，因为 100 < 102；但 1/3 > 33/100，因为 100 > 99。因此 0.33 虽是四舍五入后的近似数，却不能作 1/3 的上界。
S = 1/2＋1/3＋1/4＋1/5＋1/6＋1/7＋1/8＋1/9＋1/10
每个百分位上界都能用整数乘法核对，例如 1/7 < 15/100 等价于 100 < 105。精确和 4861/2520 只作独立核验，不是这道题的解法前提。
确定 T = 19/20＋29/30＋39/40 的整数部分。（自拟例题）
独立精算：D = 13/120，T = 347/120。S 深度在于换看“缺多少”，而非增加分母大小。
不求精确值，确定 Q = (99/100＋100/101) ÷ (1/2) 的整数部分。（自拟）
设分子为 N。两项都小于 1，所以 N < 2。两项又都大于 3/4：99×4 > 100×3，100×4 > 101×3，因此 N > 3/2。
除以 1/2 等于乘正数 2，方向不变，得 3 < Q < 4。整数部分为 3。精确核验 Q = 19999/5050。
不能只估分子整数部分为 1，就断言 Q 的整数部分为 2；小数部分乘 2 后也会贡献整数。
确定 R = 1/3＋1/4＋1/5＋1/6 的整数部分。若只用 R ≤ 4/3，够不够？（自拟）
不够。0 < R ≤ 4/3 仍包含整数部分为 0 和 1 的数。改用百分位上界：R < (34＋25＋20＋17)/100 = 96/100 < 1。其中 1/3 和 1/6 被严格放大。
四项都为正，故 0 < R < 1，整数部分为 0。精确核验 R = 19/20。迁移点是发现粗界失败后主动改变精度。
| 常见说法 | 问题与修正 |
|---|---|
| 1/3 ≈ 0.33，所以 1/3 < 0.33 | 近似符号不保证方向。上界可取 0.34，下界可取 0.33。 |
| S < 2，所以整数部分是 1 | 还须证 S ≥ 1。例如 1/2 < 2，整数部分却是 0。 |
| 1 ≤ S ≤ 2，所以整数部分为 1 | S 可能等于 2。必须排除上端点：S < 2。 |
| 1 < S < 3，答案已经确定 | 范围跨过 2，整数部分可能是 1 或 2。 |
| 上界越精确越好 | 先看是否足以判定。2 < T < 3 已够用，不必求精确和。 |
边界核对：1/2＋1/3＋1/6 = 1，整数部分仍为 1。下端允许等号；若把条件误写成必须大于 1，就会漏掉这个合法情况。
内容依据：项目 C10 数学与范围复核；例题二及练习为自拟。公开教材目录的证据及限制见项目 来源说明（项目教材目录与数学复核；不作地方课纲认证）。本页推导限有限正有理数，不据此声称地方课程覆盖或学习效果。
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不求二分之一到十分之一的精确和，怎样确定整数部分？
目标不是估得近，而是证明：至少为一，且严格小于二。
先保留前三项。删掉的六项都是正数，所以和只会变小。
前三项之和是十二分之十三，大于一，下侧证据齐了。
上界必须向上放宽。三分之一可换成零点三四，不能换成零点三三。
将各项向上估到百分位；能精确表示的项保持不变。
上界合计一点九六。多项严格变大，所以原和严格小于它。
现在，一小于原和，原和又小于一点九六，小于二。整数部分是一。
记住：只证小于二还不够；下端允许等号，上端必须严格。
S班表示本项目的教学深度；A/S编排不代表佛山南海或任何机构已核实的官方分班课纲。