数论与整数方法 · 位值与整除
把大数拆成位值，删去整倍数，再组合剩下的条件。
视频加载失败，请确认assets文件夹完整，或直接打开MP4。
四位数 3a4b 能被36整除，a、b 各为0到9的一个数字。这样的四位数有哪些？这里的3a4b表示按数位排列的整数，不表示乘法。
同一题的五步筛选
第1步 / 共5步：展开位值
3a4b = 3000＋100a＋40＋b，a、b 都取0到9。
左侧原题的当前进度
两条约束
4和9互质。被36整除，等价于同时被4和9整除。
筛选必须覆盖每个分支，最后将候选数代回原题。动画中的格子表示数位，不按数值大小绘制。
先掌握整数四则运算、带余除法、倍数与因数、质因数分解和互质。本页目标是从位值展开解释常见规则，处理缺失数字，并说明为什么筛选没有漏解。
S班是本项目的教学深度编排，不代表某地官方课纲；不限定为六年级上学期必学。
3726中的数字7在百位，位值是700，不是7。设各位数字从右向左为 d₀、d₁、…、dₖ，则 N=d₀＋10d₁＋100d₂＋…＋10ᵏdₖ。每个数字是0到9的整数；k≥1时最高位 dₖ≠0。
本页只讨论十进制非负整数，除数为正整数。一般进制互化另页讨论；小数不能直接沿用这些整数规则。
若 N=dQ＋R，其中 Q 为整数、d 为正整数，则 d整除N，当且仅当d整除R。因为 N−R=dQ：N与R中的任意一个是d的倍数，另一个也必是。这里R可以是负数，也不必是标准余数；只有说“余数”时才要求0≤R<d。
设 S=d₀＋d₁＋…＋dₖ。逐位相减：
每个 10ⁱ−1 都由 i 个9组成，因而是9的倍数，也是3的倍数。所以N与数字和S除以9余数相同，除以3也余数相同。这既证明必要性，也证明充分性。例如3726−18=3708=9×412，18被9整除，因此3726被9整除。
把数写成 N=100Q＋r，0≤r<100。因为100是4与25的倍数，整百部分可删去，所以被4或25整除，只需看末两位。末两位含前导零时也按数值判断，如“04”代表4。对8、125同理用 N=1000Q＋r，看末三位。
2：末位0、2、4、6、8；5：末位0或5；10：末位0。
4、25看末两位是否为相应除数的倍数；8、125看末三位。位数不足时直接看原数。
3、9：数字和能被相应除数整除。数字和可继续求和，但“能被3整除”不推出“能被9整除”，例如12。
6：同时被2、3整除；12：同时被3、4整除；36：同时被4、9整除。每对因数互质。
从个位开始，依次取＋、−、＋、−，得到 T=d₀−d₁＋d₂−d₃＋…。因为10与−1相差11，10ⁱ与(−1)ⁱ也相差11的倍数，所以 N−T 为11的倍数。后一句可由恒等式 xⁱ−yⁱ=(x−y)(xⁱ⁻¹＋xⁱ⁻²y＋…＋yⁱ⁻¹)，取x=10、y=−1得到，不依赖动画猜测。
因此N能被11整除，当且仅当T是11的倍数。T可以是0、±11、±22等；只判断是否为0会漏解。从最高位起交替计算有时得到−T，但不会改变整除结论。3726的T=6−2＋7−3=8，故不能被11整除；121的T=1−2＋1=0，故能被11整除。
例题一 · 末两位与数字和联动
条件：a、b是0到9的数字，千位固定为3，十位固定为4。
答案：3240、3744、3348，共3个。b的全部可能性已枚举；每个b分支的数字和区间只含一个9的倍数，因此没有漏解，也没有重复。
例题二 · 用11处理符号与零
条件：a、b各是0到9的数字，千位固定5，十位固定2。
答案：5720、5225。交错和为0是有效整除条件，不能因“0不算正倍数”而排除它。
本页例题、练习为自拟教学题。先独立列分支，再打开解析。
四位数7a4b能被72整除，a、b是0到9的数字。求全部这样的四位数。
四位数abba的千位与个位同为a，百位与十位同为b；a为1到9，b为0到9。能被99整除的这样的四位数有多少个？
共10个。它们是1881、2772、3663、4554、5445、6336、7227、8118、9009、9999。前9个依次为99×19、28、37、46、55、64、73、82、91；9999=99×101。首位a不能为0，但中间的b允许为0，9009不能漏掉。
解题顺序：明确数位与数字范围 → 展开位值 → 找能删去的整倍数 → 选择末位、数字和或交错和 → 分支组合 → 反代核验并说明不重不漏。
边界：0能被任何正整数整除；一位数不足两位或三位时直接检查原数。负整数可用绝对值判整除，但本页缺失数字题限定非负十进制写法。除数0没有整除判别。
点击标题，定位对应讲解。文字稿默认展开，也可独立阅读。
同一个数字放在不同位置，代表的数量不同。把三千七百二十六逐位展开。
三张千位筹码，七张百位筹码，两张十位筹码，六张个位筹码，合起来是三千七百二十六。
一千等于九百九十九加一，一百等于九十九加一，十等于九加一。
每张筹码都拆走九的倍数，剩下的总和是三加七加二加六，等于十八。
原数与数字和相差九的倍数，所以能否被九整除完全相同。判别三也同理。
判别四时，三千七百二十六中的整百部分都能被四整除，只需看末两位二十六。
二十六不能被四整除，所以原数也不能。判别八则要看末三位。
判别十一时，从个位起，各位权重依次换成正一、负一、正一、负一。
六减二加七减三等于八，不是十一的倍数。交错和为零时，也能被十一整除。
现在求被三十六整除的四位数，千位三，百位未知数a，十位四，个位未知数b。
四和九互质，两个条件要同时满足。先看末两位，b只能是零、四、八。
数字和是七加a加b。三个分支分别得到a为二、七、三，共三个答案。