应用题策略 · 逆向思考
从结果出发，把最后的变化最先撤销。
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一盒糖，先送出原总数的1/3，再送出6颗；取这时余下糖的3/4，最后添入5颗，共有41颗。原来有多少颗糖？取3/4是只保留当时余量的3/4，另1/4移出。所有数量均为整数。
第1步 / 共6步：从最后41颗开始
? → ×2/3 → −6 → ×3/4 → ＋5 → 41
先记录正向链。取余下的3/4，基准是送出6颗之后的数量。
本题的演示结论
81颗
先减5，再除以3/4，再加6，最后除以2/3。除以3/4是在恢复四份的整体。
单位格每格表示一颗；浅色虚线格表示还未补回的数量。每步文字给出精确数量。
分数乘除、用分数表示部分与整体、加减乘除的互逆关系，以及简单方程。先明确哪个量是单位“1”，再决定乘哪个分数。
S班仅指本项目的教学深度，不代表任何机构已核实的官方课纲或学期安排。
把数量看成被一层层包住的结果。最外层是最后发生的变化，只有先撤去它，才能看见上一层。若原数先乘a、再减b、最后乘c，结果为z：
x为原数，a、c为已知乘数，b为已知减量，z为末结果。逆运算先除c，再加b，最后除a。若不按倒序，撤销的就是错误的一层。比如先对41除以2/3，实际上是把“原总数的2/3”套到了最后的41颗上。
| 正向 | 倒推 | 必要条件 |
|---|---|---|
| 加b / 减b | 减b / 加b | b已知，且结果符合题意范围 |
| 乘a / 除a | 除a / 乘a | a≠0 |
| 减少当前量的r | 剩量÷(1−r) | r已知，1−r≠0；本页分配题中0≤r<1 |
| 增加当前量的r | 新量÷(1＋r) | r已知，1＋r≠0 |
| 给出当前量的r，再给固定b | (剩量＋b)÷(1−r) | 次序不能交换；原过程中的给出量可行 |
“给出原总数的1/4”与“给出余下的1/4”可能不同。前者始终以原总数为基准，后者以当时余量为基准。只有写清楚基准，才能把它变成正确的乘法。若后一步又引用原总数，不能擅自当作当前余量的分数；应保留原数符号、列出关系后再求解。
每个中间值都对应唯一的前一步值，沿链倒推才会得到唯一原数。还原出数字后，要顺推回去，检查题目条件、整数与非负要求。顺推验证一个候选值可行，本身不能证明它是唯一解；唯一性来自每一步在题目范围内可逆。
本页全部题目及反例为自拟教学材料；计算另用精确分数与顺推关系核对。
例题一 · 多阶段分数变化
一盒糖先送出原总数的1/3，再送出6颗；仅保留此时余量的3/4，最后添5颗，得到41颗。求原总数。
顺推验算：81×(1−1/3)=54，54−6=48，48×3/4=36，36＋5=41。每一阶段数量为非负整数，且送出6颗之前有54颗，操作可行。
例题二 · S班结构变式：固定原总数与当前余量
一袋棋子，先给甲原总数的1/4再多3枚；再给乙这时余下的2/5；最后给丙15枚，还剩12枚。原来有多少枚？甲、乙各得多少枚？所有棋子为整枚分配。
顺推：64−19=45，45−18=27，27−15=12。总量核查：19＋18＋15＋12=64。甲的1/4以64为基准，乙的2/5以45为基准，不能把两个分数直接相加为“共给出原数的13/20”。
一个数先增加它的1/5，再减去12，最后取此时结果的3/4，得36。原数是多少？
正向链为×6/5、−12、×3/4。倒序还原：36÷(3/4)=48；48＋12=60；60÷(6/5)=50。
顺推：50×6/5=60，60−12=48，48×3/4=36。增加1/5意味着变成原来的6/5，还原时除以6/5；不是减去结果的1/5。
一篮橙子依次分给三人。每人都取走当时篮中橙子的一半，再多取2个。第三人取完后，篮中还剩5个。原来有多少个橙子？
每次“取走一半再多2个”，留下量=当时数量÷2−2，因此倒推每次是“先加2，再乘2”。从第三人开始还原：
第三人取之前：(5＋2)×2=14；第二人取之前：(14＋2)×2=32；第一人取之前：(32＋2)×2=68个。
顺推：第一人取34＋2=36，剩32；第二人取16＋2=18，剩14；第三人取7＋2=9，剩5。三人的“一半”分别以68、32、14为基准。
一个非负整数，除以2后向下取整，结果为5。原数是多少？
原数可以是10或11。因为5≤x/2<6，所以10≤x<12；x为整数，恰有10、11两个可能。不能只做5×2=10就宣称唯一。
如果不限制原数为整数，所有满足10≤x<12的实数都可能。丢弃小数部分的信息后，必须保留候选范围，或补充条件。
| 操作或信息 | 反例与结论 |
|---|---|
| 乘0 | 8×0与19×0都为0，不能从0唯一确定原数。 |
| 取整、四舍五入 | 取整可能把不同数变成同一数；先列范围或候选值。 |
| 只保留两人合计 | 甲乙合计10，可以是4与6，也可以是3与7，缺少各自信息。 |
| 平方但允许正负 | 2²与(−2)²都为4。若明确原数非负，才可唯一恢复为2。 |
| 剩量条件不满足物理范围 | 棋子等离散物品必须得到整枚；算出分数不能四舍五入成“答案”。 |
“不可逆”依赖题目允许的范围，并非只看运算名称。对一般实数，平方会丢失正负号；限制在非负数时就可逆。碰到取整、余数、绝对值、合并等操作，先问有没有不同输入得到同一输出。
四步习惯：画正向链 → 标单位“1”与取值范围 → 倒序逆运算 → 顺推核条件。遇到信息损失，先列候选而不是强行还原。
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一盒糖，先送出总数的三分之一，再送六颗。余下的四分之三，添五颗后是四十一颗。原有多少颗？
先画正向链：乘三分之二，减六，乘四分之三，加五。倒推时，顺序和运算都要反过来。
从四十一开始，先减五，得到三十六。最后做的加法，最先撤销。
三十六是上一步的四分之三。三份共三十六，每份十二，四份就是四十八。
所以要除以四分之三，不是乘四分之三。图中补回的一份，正好是十二颗。
再补回送出的六颗：四十八加六，得到五十四。此时才回到第一次分数变化之后。
五十四是原总数的三分之二。两份共五十四，每份二十七，三份就是八十一。
顺推检查：八十一变五十四，再减六是四十八，取四分之三是三十六，加五回到四十一。
但不是每个过程都能唯一倒推。例如除以二再向下取整，十和十一都会变成五。
信息一旦丢失，不能只把除法换乘法。先检查可逆性，再倒序还原，最后顺推验算。
题目为本页自拟。数学依据为分数乘除互逆与同一关系的逆向求解，不引用未经核实的当地课纲。方块每格代表一颗糖，链节点与分配表格不按数量比例。动画过渡中的淡色表示待还原部分，不是额外条件。
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