同路程变速与时间差

同一时刻从家出发到学校，全程匀速且不休息。若每小时走4千米，迟到6分钟；若每小时走5千米，早到6分钟。两次以同一个约定到达时刻为准。家到学校有多远？

同路程：时间跟速度的倒数成正比

设路程为 s 千米，慢速 v₁、快速 v₂ 的单位都是千米/时，且 v₂>v₁>0。两次行走各自匀速，不含额外停留。

1/v₁ 与 1/v₂ 的单位是小时/千米，表示走1千米所需的时间。路程相同，每千米的用时差重复了 s 次，所以总用时差等于 s 乘每千米用时差。若 s 不是整数，仍由乘法分配律成立。

Δt 必须换成小时。也可以把两个倒数都乘60，得到“分钟/千米”，此时 Δt 用分钟。不能把分钟直接代入小时公式。同路程还得到 t₁:t₂=v₂:v₁；速度4:5，对应时间5:4，而不是4:5。

早迟偏差：先标同一个约定时刻

约定到达时刻记为 D，迟到记正，早到记负；两次偏差分别是 δ₁、δ₂。若出发时刻相同，抵消共同的出发时刻后，两次用时之差就是 δ₁−δ₂。

• 慢走迟6、快走早6：6−(−6)=12分钟。
• 慢走迟10、快走迟4：10−4=6分钟，不能一律相加。
• 慢走早3、快走早8：(−3)−(−8)=5分钟。

只有一次早到、一次迟到时，两次到达分居 D 两侧，时间差才是两数之和。若出发不同，先由各自“到达时刻−出发时刻”求用时，不能把到达差直接当用时差。

只改一段：先作差，抵消不变部分

全程为 L，其中比例 f 的路段从 v₁ 提速到 v₂，剩余部分保持相同速度和停留安排。改变路段长 fL，设省下的时间为 Δt，则：

先求 fL，再除以 f 还原 L。f 必须按路程理解；“一半时间”与“一半路程”不能互换。若多个路段都改变，应按题意分别求时间差，不能把某段公式套给全部路程。

• 不同路程不保证速度越快用时越短。4千米以4千米/时走，与6千米以6千米/时走，均用1小时，不能用本页同路程时间差公式求路程。
• 出发时刻不同时，到达差不等于用时差。甲8时出发、9时到，乙8时20分出发、9时10分到；乙晚到10分钟，却少用10分钟。
• 速度相等时不能除以零。同一路程、同出发、同停留且速度相同，用时差必须为0；只知道0差不能确定距离。
• 停留不能混进走路用时。若慢方案额外停留 r 小时，则到达差为 s(1/v₁−1/v₂)＋r，先扣掉 r 再求路程。
• 等路程两段不能取速度算术平均。4与6的等路程平均速度为4.8；等时间两段才是5。

回顾：锁定同一路程与同一出发基准 → 把早迟化成有方向的差 → 单位统一 → 抵消不变路段 → 用时间差除以每千米用时差 → 还原全程并代回。

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