工程模型 · 方法讲解
完整周期可以合并，最后一段必须按顺序截取；完成即停止。
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一项工程共54份。甲每天做6份，乙每天做4份。甲先做1天，再由乙做1天，如此每天交替。每人工作时效率恒定，可连续做不足1天；没有休息或交接耗时，工程完成即停止。从开工算起，需要多少天？
固定题目 · 每格1份工作量，共54格
第1步 / 共5步：先固定顺序
甲6份/天，乙4份/天。甲先，按“甲1天、乙1天”重复。
已完成0份，剩余54份。先看顺序，不能把两人效率相加当作每天都合作。
对应左侧54份、甲先的题目
0份
同一时刻只有一人工作。甲的6份/天与乙的4份/天不能直接相加作为每天效率。
图中每格为相同工作量，不是一格一天。颜色区分工人，同时由文字说明，完成时刻不向整天取整。
理解工作量=工作效率×工作时间，会分数除法、带余除法和分段计算。“份”是统一工作量单位；若设总工程为单位1，本例甲效率为1/9、乙效率为2/27（工程/天），必须保持相同基准。
S班是本项目教学深度编排，包含末段截取和结构变式，不代表任何机构已核实的官方课纲。
主例中甲做1天、乙做1天后，下一个人又是甲。这个2天段可以重复。若甲连续做2天、乙做1天，周期就是3天；若题目从乙开始，则必须把周期从乙排起。只看“每个人都出现了”还不够，时间、顺序都要相同。
设工程总量 W>0，一个周期按顺序有 m 段。第 i 段效率为 aᵢ>0、时长为 dᵢ>0。各段无重叠，工作可按时间连续分割，无额外交接时间。定义：
T = d₁＋d₂＋…＋dₘ
C = a₁d₁＋a₂d₂＋…＋aₘdₘ
T 是周期时长，C 是周期工作量。令 n 为 W÷C 的整数部分，即不超过 W/C 的最大整数，余量 r=W−nC，所以0≤r<C。先用 nT 时间完成 nC 工作；因为各段效率为正，未到周期末时工作量更少，不会提前越过 nC。若 r=0，正好结束，后续全部取消。
当 r>0，沿原周期从第1段开始依次比较。若 r≤a₁d₁，第一段内即可完成，用时 r/a₁；否则扣掉 a₁d₁，并计入 d₁，再看第2段，直到剩余量不超过当前段容量。等号表示恰在该段结束时完成，下一段不再发生。
更一般地，令 Pⱼ=a₁d₁＋…＋aⱼdⱼ，P₀=0。找到第一个满足 r≤Pⱼ 的 j：
式子只在 r>0 时使用。它先计入已完整做过的末周期前几段，再用当前人的效率换算不足一段的时间。
0<r≤6：末段=r/6
甲先做，甲段容量6份；可以不足1天。
6<r<10：末段=1＋(r−6)/4
甲先做满1天，再按乙的效率处理余量。
本页例题与练习均为自拟教学题，按精确分数核对。所有“天”指题目统一的时间单位。
例题一 · 每天交替，最后一天不足
两人各做1天，每天交替；工作可连续分割、无休息与交接耗时，完成即停止。求总用时，并判断在哪一天完成。
复算：5×(6＋4)＋6×(2/3)=54份。“第11天完成”是序号判断，不能把用时也写成11天。
例题二 · S班结构变式：甲连做2天，乙做1天
甲先连续工作2天，再由乙工作1天，按此3天安排重复。各自效率恒定，无休息或交接耗时，工作可连续分割，完成即停止。求总用时和最后完成者。
复算：3×13＋5×2＋3×(1/3)=50份。不能把11份全部除以甲的效率，算成2又1/5天，因为甲只被安排连续做2天。
边界反例 · 平均效率为何可能失效？
甲乙一个完整周期的平均效率=(6＋4)÷2=5份/天。直接算54÷5=10又4/5天，和真实的10又2/3天不同。原因是末段只有甲工作，实际效率为6份/天；周期平均只保证完整2天的总量正确。
再把主例改为乙先，仍是54份、乙4份/天、甲6份/天、每天一换：前5周期仍是50份10天，剩4份恰好由乙用1天完成，答案变为11天。周期平均效率相同，起始顺序却能改变末段。最后若总量恰为50份，5周期10天正好结束，两种顺序都不用再补一天。
工程共40份。甲每天做7份，乙每天做3份，乙先做1天、甲再做1天，按此顺序每天轮换。效率恒定，工作可连续分割，无休息或交接耗时。完成即停止。求总用时、最后完成者。
周期顺序是乙后甲，共2天，工作量3＋7=10份。40=4×10，余量为0，因此恰好在4个周期末结束，总用时8天，最后由甲完成。
复算：乙工作4天做12份，甲工作4天做28份，共40份。不能因为下一个周期“又轮到乙”，再加一天；工程已经完成。
工程共58份，按“甲连续做2天，乙做1天，丙做1天”重复，甲先开始。甲、乙、丙每天分别做8、5、3份。效率恒定，无休息或交接耗时，工作可连续分割，完成即停止。求总用时和最后完成者。
一个周期4天，共做8×2＋5＋3=24份。58=2×24＋10，所以先用8天做48份，余10份。
下个周期先轮到甲；甲的2天容量为16份，10≤16，故只需10÷8=5/4天，未用满2天。总用时8＋5/4=9又1/4天，在第10天内由甲完成；乙丙不再工作。
复算：2×24＋8×(5/4)=58份。不能把余10份除以三人效率之和16，因为他们按顺序轮换，没有同时工作。
| 容易出错 | 正确判断 |
|---|---|
| 交替工作也把两人效率相加 | 只在周期中相加工作量，同时计算周期时长。 |
| 把剩余工程除以平均效率 | 按当前轮到的工人和该段容量截取。 |
| 第11天内完成，就答用了11天 | 分别回答“第几天”和“用了多久”；可不足1天。 |
| 余量等于当前段容量时还换人 | 等号表示在该段末完成，立即停止。 |
| 余量为0仍补一个末段 | 周期末已完成，末段时间为0。 |
| 知道周期总量就不看起始人 | 周期压缩以后，末段仍从题目规定的起始人开始。 |
四步法：排顺序、算周期 → 求完整周期与余量 → 沿顺序逐段扣 → 用当前效率算不足段，完成即停止。最后把各人工作量相加，核对是否恰等于总量。
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一项工程共五十四份。甲每天做六份，乙每天做四份，甲先做，每天轮换，没有停工。
把甲做一天、乙做一天圈成一个周期。两天做六加四，正好十份。
五个完整周期做五十份，用十天。还剩四份，不能把第六个周期也做满。
第十一天轮到甲。余下四份除以甲每天六份，只需三分之二天。
条带只填满四份就停止。乙不用再上场，也不是甲乙合作来做最后一段。
所以总用时十又三分之二天，在第十一天内完成。问用了几天，不能答十一天。
一般地，完整周期后余量为零就结束。余量不超过六份，由甲完成。
若余量超过六份，先扣去甲一天的六份，剩余再除以乙的效率。
记住：完整周期可以合并，最后周期必须拆开；做到完成的时刻，立即停止。
每个小格代表1份工作量；前5行每行10份表示完整周期，末行4份表示余量。格子宽度不表示工作时间；甲乙颜色始终表示各自完成的工作量。视频实体厚度是视觉示意。
数学依据为工作量=效率×时间、带余除法与正文分段推导，全部题目为自拟。静态正文包含完整条件、结论与解析，不依赖视频或脚本。下载视频 · 下载完整离线包。