因数个数与因数和

72=2³×3²。求全部正因数的个数和总和；再只取其中是6的倍数的因数。表格的四列依次取2⁰、2¹、2²、2³，三行依次取3⁰、3¹、3²，每格是行列幂的乘积。

本页只讨论正整数的正因数，包含1和自身。S班是项目编排的教学深度，重点为限定因数与反推结构，不声称属于已核实的机构或学期课纲。

设 n>1，标准质因数分解为 n=p₁^a₁p₂^a₂…p_k^a_k；p₁、…、pₖ是互不相同的质数，a₁、…、aₖ是正整数。

为什么每个正因数对应唯一一组指数？

若 d 整除 n，则 n=dq，其中q为正整数。由唯一分解，d只能含这些质数，且每个质数的指数bᵢ不能超过aᵢ。因此d=p₁^b₁…p_k^b_k，0≤bᵢ≤aᵢ。反过来，任何满足范围的指数选择都给出n的因数，因为n/d=p₁^a₁−b₁…p_k^a_k−b_k仍是正整数。不同指数组不能给出相同的d，否则违反唯一分解。这样便得到双向且不重不漏的对应。

符号∏表示将i=1至k的各项相乘。每一项几何和也可写成(p_i^a_i+1−1)/(pᵢ−1)，因为令S=1+p+…+pᵃ，则pS−S=pᵃ⁺¹−1。计算时先算整数幂，再做精确除法。

限定因数：先改指数允许集合

若每个指数bᵢ可从集合Bᵢ中独立选择，个数为各集合大小之积，和为∏(Σp_i^b_i)。例如“偶因数”要求2的指数至少1，“奇因数”要求2的指数为0。“是m的倍数”先检查m是否整除n；若m含n没有的质因数，或指数超过n，则一个也没有。

若限制把多个指数耦合，例如“指数之和等于2”，不能直接把各自范围相乘，必须枚举满足联合条件的指数组。

以下例题与练习均为自拟教学题。

• 必须是标准质因数分解。12=3×4中的4不是质数；误套(1+1)(1+1)得4，而12实际有6个正因数。正确分解12=2²×3。
• 不能漏掉指数0。p⁰=1，所有指数都取0才得到因数1；不加1会漏因数。
• 1单独处理。正整数1唯一的正因数是1，所以τ(1)=σ(1)=1。0有无限多个正因数，不属于本页范围。
• 正因数不等于真因数。n>1时真因数和为σ(n)−n；若计正负因数，个数为2τ(n)，正负相消后的和为0，这不是σ(n)。
• 因数个数不能唯一确定n。60和72都恰有12个正因数；“求最小”还需要比较结构。
• 因数和不能随便对任意乘积分拆。σ(4)σ(6)=7×12=84，而σ(24)=60；4和6有共同质因数，不能作为两个独立质数幂处理。

解题顺序：标准分解 → 写出指数范围 → 检查限制是否独立 → 求个数或求和 → 枚举小例核验。反推时：拆分因数个数 → 每项减1 → 小质数配大指数 → 比较全部结构。

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推导依据为唯一分解定理、乘法原理和分配律，证明与自拟题均完整写在正文中。指数表只表示离散选择，不表示面积或大小关系。暂无外部题库引用。下载视频 · 下载完整离线包。