平面几何 · 方法讲解
取运动全过程的覆盖并集，重复经过的区域只算一次。
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矩形长4、宽3，沿长边方向向右连续平移5个长度单位。问整个矩形曾覆盖的面积，以及右侧竖边扫过的面积。再切换到半径6、圆心角60°的扇形绕自身圆心逆时针连续旋转，观察转角增大后覆盖是否一直增加。演示的面积单位均为平方单位。
矩形平移 · 第1步 / 共4步
尚未移动，整个图形的覆盖面积已是12；右侧竖边扫过面积为0。
对应左侧矩形平移
12
尚未移动时，矩形已覆盖4×3=12；边线本身的面积为0。
浅绿色表示全过程累计覆盖，暖色轮廓表示当前位置，虚线表示起始位置。面积不按经过次数累加。
会矩形、圆与扇形的面积，理解度数、圆周角360°和面积单位；会用“两个区域面积和减重叠”求并集。本页保留π作精确值，不把π近似成有限小数。
| 运动对象 | 所求对象 | 量纲 |
|---|---|---|
| 一个点 | 轨迹的长度，例如圆弧长 | 长度单位 |
| 一条线段 | 线段在运动中扫到的点的集合 | 若形成平面区域，求平方单位 |
| 一个有内部的图形 | 所有时刻图形所占区域的并集，含起始位置 | 平方单位 |
S班是本项目的教学编排。内容限二维平面内沿指定方向的连续平移，以及绕指定点的初等旋转；不声称是任何机构的官方课纲。运动路径、起始位置、方向、转角必须明确。
把时刻t图形所占的区域记作F(t)。覆盖区域包含所有“至少在某一时刻属于F(t)”的点。重复被覆盖十次的点，在面积中仍只占一份。两个位置A、B的并集满足面积(A∪B)=面积A+面积B−面积(A∩B)，但只有证明中间所有位置都在A∪B内，才能只用首尾代替全过程。
设矩形沿运动方向的边长为a，垂直于运动方向的边长为b，a、b>0。向右单向连续平移d，d≥0。取任一条穿过矩形内部、平行运动方向的水平线：该截面从区间[0,a]连续移动到[d,d+a]，全过程到过的区间恰是[0,a+d]。因为位移s遍历0到d，没有中间断层；任何0≤x≤a+d都可落入某个[s,s+a]。每一高度上的结论相同，所以覆盖是长a+d、宽b的矩形。
整个矩形覆盖 S=(a+d)b；起始区域之外的新覆盖 S新=db。
矩形右侧竖边位于x=a+s，s从0到d，扫出宽d、高b的矩形，面积同为db。这里相等是本模型的结果，并非“任意一条边扫过面积=新增面积”的通则。与运动方向平行的上边只在一条直线上运动，扫过面积为0。
长度r>0的线段一端固定，单向连续旋转θ，0≤θ≤360°。每个方向上，线段包含从圆心到距离r的全部点，方向从0到θ均会经过，故扫出半径r、圆心角θ的扇形。按同圆扇形面积与圆心角成比例：
线段扫过 S=θ/360×πr²；外端点弧长 L=θ/360×2πr。
前者是面积，后者是长度。比如r=6、θ=90°，分别为9π平方单位和3π长度单位。半径相同但转轴换到线段外部时，可能形成环带的一部分，不能照搬这条公式。
设初始扇形半径r、圆心角α，0<α<360°，从方向0到α。绕自身圆心逆时针单向连续旋转θ≥0。转到s时，方向区间为[s,s+α]。让s遍历0到θ，合起来在未绕回时正好是[0,α+θ]：既没有越出这个范围，也没有任何方向缺口。在每个方向上，扇形都包含0到r的整条半径。
若α+θ≤360°，覆盖就是圆心角α+θ的扇形；若α+θ≥360°，所有方向都已出现，覆盖就是整个圆。重复圈数不会增加面积。
S覆盖 = πr² × min(360°, α+θ) / 360°。
min表示取两者较小值。此公式只用于同一扇形绕自身圆心单向连续旋转。往返运动用实际到过的方向范围，不能把累计转过的角度相加。一般多边形绕外点旋转也不能直接套用。
例题与练习均为本页自拟教学题，长度、角度和运动条件均为题设。
例题一 · 平移中的中间漏区
长4、宽3的矩形沿长边方向向右连续平移5，求全过程覆盖面积、起始区域外的新增面积，以及右侧竖边扫过面积。只把首尾矩形面积相加是否正确？
对照：若只移动2，首尾重叠长4−2=2、宽3，面积6。其并集12+12−6=18，恰好等于(4+2)×3。距离超过4后，中间才会出现首尾覆盖不到的条带；“平移就把两个矩形相加”始终不可靠。
例题二 · S班结构变式：扇形旋转与饱和
初始从0°到60°，逆时针单向连续转90°，求整个扇形曾覆盖的面积及起始扇形之外的新覆盖面积；若改为从原位连续转330°，覆盖面积又是多少？
检查：15π介于初始6π和全圆36π之间；330°时新增面积为36π−6π=30π。重复覆盖的30°对应3π，但不能把“所有连续位置的面积”逐个相加，那样同一个点会被无数次计入。
长5、宽2的矩形，沿长边向右连续平移3。求首尾重叠面积、全过程覆盖面积、起始之外新增面积，以及上方长边扫过的面积。
首尾横向区间为[0,5]和[3,8]，重叠宽5−3=2，高2，故重叠面积4平方单位。连续覆盖是8×2=16平方单位，也可由10+10−4=16核对；新增面积16−10=6平方单位。
上方长边始终在同一条水平线上，虽然点的轨迹变长，扫到的区域仍没有平面宽度，面积为0。不能把5×3=15当成上边扫过面积；3与上边平行，并非垂直宽度。
半径4、圆心角90°的扇形，绕自身圆心从原位逆时针连续旋转300°。求全过程覆盖面积、起始之外新增面积，并指出按390°计算会多算多少。
初始90°加上转角300°=390°，方向超过一周，覆盖为整圆，面积π×4²=16π平方单位。起始面积90/360×16π=4π，所以新增面积12π平方单位。
错误的390°计算给390/360×16π=52π/3，多算的30°面积30/360×16π=4π/3平方单位。从52π/3减去4π/3，恢复16π。转到270°时已覆盖全圆，其后30°不再增加。
四步检查：写清运动对象与路径 → 证明所有到过的区域 → 合并覆盖并处理重叠 → 核对面积单位与全圆等上限。动画用于看变化，证明仍依赖截面或方向范围。
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长四、宽三的矩形，沿长边向右连续平移五。整个图形曾覆盖多大区域？
覆盖的是长九、宽三的矩形，面积二十七。只把起点和终点相加，会漏掉中间的一条。
如果问右侧竖边扫过的面积，则是五乘三，等于十五。它与整个矩形覆盖的区域不同。
线段绕端点转九十度，扫出扇形；外端点只走过一条弧，弧长不能当面积。
再看半径六、圆心角六十度的扇形。它绕圆心，逆时针连续转九十度。
每个位置都要计入，所以覆盖方向从零度一直到一百五十度，面积15π。
若从原位连续转三百三十度呢？初始六十度加上转角，共三百九十度。
但一周只有三百六十度，末尾三十度已经覆盖过。总覆盖就是整个圆，面积36π。
记住：先分清运动的是点、边，还是整个图形。覆盖取所有位置的并集，重复区域只算一次。
矩形图使用同一长度比例；圆图角度按几何定义绘制。图中填色代表区域，线条粗细、透明叠色不表示覆盖次数或新面积。重点是初等限定模型，不讨论任意曲线、任意旋转中心的通用扫掠公式。
数学依据是本页给出的区间并集、扇形面积和完整推导；全部题目为自拟，无未核实的外部题库引用。下载视频 · 下载完整离线包。