例题一｜同圆的三种面积与两处空隙
半径5厘米的圆，内接一个正方形并外切一个正方形。求三者面积、圆中内方之外的面积、外方中圆之外的面积。（自拟题）
- 半径平方r²=5²=25平方厘米。
- 内方由四块底高均为5厘米的三角形组成，面积4×(5×5÷2)=50平方厘米。
- 圆面积=25π平方厘米；外方边长10厘米，面积=100平方厘米。
- 圆中扣去内方：25π−50平方厘米；外方中扣去圆：100−25π平方厘米。两处面积相加50平方厘米，等于外方−内方，检查一致。
平面几何 · 面积模型
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圆与正方形的面积关系
不急着求边长：先分割内方，再用半径平方连接面积。
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01
半径5，怎样不求边长就求面积？
一个半径为5厘米的圆，两条互相垂直的直径的四个端点依次相连组成内接正方形；另作四边都与圆相切的外切正方形。求内方、圆、外方的面积，并解释它们的联系。
第1步：确认同一个圆的内方与外方，r=5厘米。
当前演示：半径5厘米
先认位置，再认半径
内方是四顶点在圆上的正方形，外方的四边与圆相切。圆心是两方共同的中心。
共同基准：r² = 25平方厘米
图形采用同一比例；着色仅提示当前面积。完整计算见例题一。
02
为什么内方面积是2r²？
学习目标与前置
掌握三角形面积、正方形面积、圆的半径与直径、圆面积πr²和比的基本性质。能把同圆的内方、圆、外方统一写成“系数×r²”，并通过面积差反求r²。
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先把位置说清楚
圆的内接正方形：四个顶点在圆周上，圆在它外面。圆的外切正方形：四条边与圆相切，圆在它里面；也可称“正方形的内切圆”。“内接”和“内切”不能只凭一个“内”字判断。
- 从圆心O连到内方四个顶点。正方形的两条对角线过圆心、互相垂直且相互平分，形成四个全等的等腰直角三角形。
- 取一个三角形的两条半径作底和高。它们互相垂直且长度都是r，所以每块面积r×r÷2=r²/2。
- 四块无重叠、无遗漏地铺满内方，所以内方面积4×r²/2=2r²。也可将四块两两拼成两个边长r的正方形；旋转、平移不改变面积。
- 外方边长为直径2r，所以面积(2r)²=4r²。圆面积为πr²。因此同圆对应内方∶圆∶外方=2∶π∶4。
r>0。比值仅适用于同一个圆（或半径相同的圆）及规定的正方形。π保持精确形式，除非题目明确要求取近似值。旋转整套图形不会改变面积关系。
面积差是一条更短的路
外方−内方=2r²；圆−内方=(π−2)r²；外方−圆=(4−π)r²。若已知其中的差，先求r²，通常不必求r。例如外方比内方多D，则r²=D/2，内方恰好也等于D，外方等于2D。
03
两道完整例题
例题二｜只给差，反求全部面积
同一个圆的外切正方形比内接正方形面积大72平方厘米。求圆面积，并求圆中内方之外的面积。（自拟题）
- 设半径为r厘米。差为4r²−2r²=2r²=72，得r²=36平方厘米。
- 圆面积πr²=36π平方厘米。无需先算半径就能求圆面积。
- 内方面积2×36=72平方厘米，圆中内方之外的面积=36π−72平方厘米。
- 外方面积4×36=144平方厘米，144−72=72，符合题给面积差。已知的是外方与内方之差，不能当成圆与内方之差。
04
迁移练习
练习一｜从外方面积出发
一个正方形面积196平方厘米，在它内部作内切圆，再在圆内作内接正方形。求最内层正方形与圆的面积。（自拟题）
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外方面积4r²=196，所以r²=49平方厘米。内方面积2r²=98平方厘米，圆面积=49π平方厘米。内方是外方面积的一半；不必先求外方边长。
练习二｜由圆与内方的差反推
同圆内接与外切正方形中，圆内而内方外的区域面积为18(π−2)平方厘米。求外方面积与内方面积。（自拟题）
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圆−内方=(π−2)r²=18(π−2)。因为π−2>0，可以约去这一共同因子，得r²=18平方厘米。因此外方面积4×18=72平方厘米，内方面积2×18=36平方厘米。这里r不需要是整数，面积关系仍成立。
05
反例、易错与回顾
反例：四点在圆上不等于内接正方形
圆心取O，半径5。取横向离中心3、纵向离中心4的四个对称点，组成边长6和8的长方形。每个顶点确实在圆上：以中心到一顶点的线段作斜边，将3、4直角三角形旋转拼在边长7的正方形中，可得斜边上的正方形面积7²−4×(3×4÷2)=25，故斜边长5（这一步为额外分割核验，不用来证明内方公式）。这个长方形面积6×8=48，不等于2×5²=50。因此“内接”必须连同“正方形”一起检查。
- 不要把r²误当r，面积单位写平方厘米。
- 外方边长是2r，平方后是4r²，不是2r²。
- 内方边长通常不是r；内方的半条对角线才是r。
- 图形旋转不影响结果，换了圆或不是相切、内接条件则必须重新分析。
- π是圆周率，不能在精确答案中随意用3.14代替后仍写等号。
解题顺序：辨认内外位置 → 找共同半径 → 分割证明内方 → 写2r²、πr²、4r² → 根据已知面积或差求r² → 检查单位与差的对象。
06
逐章回看
点击章节标题，定位到视频中的对应讲解。
一个圆里外各有一个正方形。内方的四个顶点在圆上，外方的四条边与圆相切。
设圆半径为r，外方边长是2r，所以外方面积是4r²。
内方不用先求边长。连接圆心和四个顶点，把它分成四个相同的直角三角形。
每个三角形的底和高都是r，面积是r²的一半。四块合起来，就是2r²。
也可以把四块移开，每两块拼成一个边长为r的正方形，面积总共是2r²。
于是，同一个圆对应的内方、圆、外方，面积比是二比派比四。共同的桥梁是r²。
若外方比内方大72，差就是2r²，因此r²等于36，不必先开平方。
内方面积72，外方面积144，圆面积36π。圆中扣去内方，剩下36π减72。
注意，四个顶点在圆上还不够，必须确认它是正方形。任意内接长方形不能套2r²。