数论与整数方法
把质因数指数配成偶数，再分别考虑乘法、整除与范围。
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具体问题：求正整数 m、d，使1080m与1080÷d分别为完全平方数，并让m、d各自最小。除法要求d整除1080。每个方块表示一个质因子，同类两块才能配对。
第1步 / 共4步：质因数分解
1080 = 2³ × 3³ × 5。先点“下一步”观察哪些因子不能配对。
当前：乘法补齐 · 1080
先分解
下一步找出各类落单的因子，再补成偶数个。
方块的大小不代表数值大小；因子配对是结构示意，不能替代下方证明。
必要前置：质数、质因数分解、幂的意义、整除与因数，以及正整数大小比较。本页面向S班，重点是证明最小性、刻画全部解和处理指数范围；A/S为本项目教学编排，不是官方课纲。
学完应能：用指数判断平方；分别求补成平方的最小乘数与整除后成为平方的最小除数；用参数列出范围内全部乘数；统计一个数的平方因子。
完全平方数是某个整数的平方。本页研究正整数N，所以平方根取正整数；1=1²也在讨论范围，0与负数不套用本页质因数指数公式。
把N唯一地分解成不同质数的幂：N=p₁a₁p₂a₂…pᵣaᵣ，其中各aᵢ为正整数。
N是完全平方数 ⇔ 所有质因数的指数都是偶数
将所有指数为奇数的质数相乘，记为q；若没有这样的质数，取空积q=1。于是存在正整数u，使N=qu²，且q中每个质因子的指数都是1。这个q称为N的无平方因子部分（squarefree part）。
要让Nm为平方，每个奇数指数至少还需补一个同类质因子，所以任何可行m都被q整除。m=q能使全部指数成偶数，故最小值是q。
更精确地，原有奇数指数的质数在m中必须取奇指数；原有偶数指数的质数及新引入的质数在m中只能取偶指数。因此所有可行m恰为q t²，t是正整数。
要求d整除N。设d中质数pᵢ的指数为bᵢ，那么0≤bᵢ≤aᵢ，且aᵢ−bᵢ必须为偶数；也就是bᵢ与aᵢ奇偶相同。
每个奇指数至少删去1，每个偶指数最少删去0。d=q符合要求且最小。两种最小值对所有正整数N都相同，但可行除数受指数上限限制，不能任取q t²。
本页例题与练习均为自拟教学题。
例题一 · 最小乘除数分别讨论
求使1080m为平方的最小m；另求使1080÷d为整数平方的最小d，并列出所有这样的d。
核查边界：m=480也是可行乘数，因为480=30×4²；但它不是1080的因数，1080÷480=9/4，不能作为本题的可行除数。
例题二 · S班范围与指数约束
等价指数写法：m=2ᵇ×3ᶜ×5ᵉ×（其他质数的偶次幂），b、c、e均为正奇数。参数式30t²把这些选择统一起来。
求使756m为完全平方数的最小正整数m，以及使756÷d为整数平方的最小正整数d。分别给出平方根。
756=2²×3³×7。2的指数已为偶数，不需补或删；奇指数质数是3与7，q=21。
乘法最小m=21，756×21=2²×3⁴×7²=(2×9×7)²=126²。除法最小d=21，756÷21=2²×3²=6²。任何可行乘数或除数都至少包含3×7，故最小性成立。
1080有多少个正因数？其中完全平方数有几个？列出所有平方因子，并求最大平方因子。
每个因子写为2ᵇ×3ᶜ×5ᵉ，b、c可取0、1、2、3，e可取0、1，独立选择得到4×4×2=32个正因数。
若因子为平方，b、c只能取0、2，e只能取0。因此有2×2×1=4个，分别为1、4、9、36，最大平方因子为36。
一般N=∏pᵢaᵢ的平方因子数是∏(⌊aᵢ/2⌋+1)，因为每种指数可取0、2、4、…、2⌊aᵢ/2⌋。最大平方因子为∏pᵢ2⌊aᵢ/2⌋，正好等于N/q。
将N的正因子d与N/d配对。除d=N/d以外，每对包含两个不同因子；相等时d²=N。因此只有N为平方时，才恰有一个单独的中间因子√N，总因子数为奇数。N=1时只有因子1，同样成立。
也可从因子数∏(aᵢ+1)验证：乘积为奇数当且仅当每个aᵢ+1为奇数，即每个aᵢ为偶数。不要把“质因数指数为偶数”与“因子总数为偶数”混淆。
| 容易误判 | 检查与反例 |
|---|---|
| 平方数一定是偶数 | 9=3²是奇数；看指数奇偶，不看N本身奇偶。 |
| 30的倍数都能把1080乘成平方 | m=60时，1080×60=2⁴×3⁴×5²×2，2的指数变成5。只有m=30t²才行。 |
| 乘法与除法的所有解都相同 | m=480可乘，但480不整除1080。整除指数必须有上限。 |
| 原数是平方，还要补一个因子 | N=36时q=1，最小乘数、除数均为1。 |
| 1不是平方因子 | 1=1²，对任何正整数N都是平方因子；计数不能漏掉指数全0。 |
解题顺序：唯一分解 → 检查指数奇偶 → 奇指数质数各取一个得q → 分别处理乘法或整除 → 加上范围限制并检验。动画帮助看见配对，必要性与充分性才是证明。
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一千零八十分解成三个二、三个三和一个五。每块只代表一个质因子。
平方数来自同一个整数乘自己，每种质因子都出现偶数次。
反过来，指数全是偶数，就能各取一半，组成平方根。这依靠质因数分解的唯一性。
要乘成平方数，二、三、五各缺一个。最小乘数是三十，乘积等于一百八十的平方。
要整除后成为平方数，就各删一个二、三、五。最小除数也是三十，商等于六的平方。
乘和除的最小数虽然相同，全部可行的数却不同。除数还受到原指数的上限限制。
所有可行乘数都是三十乘一个正整数的平方。因为三个奇数指数必须各补成偶数。
若乘数在一百到五百之间，平方参数只能取二、三、四，得到一百二十、二百七十、四百八十。
本页只研究正整数的质因数结构。分解唯一性作为已知前置；平方判据、最小性、参数式及因子计数已在正文给出推导。方块只是一个质因子，不代表相等的数值、长度或面积。学习目标与难度分层是项目编排。