例题一｜同样的数，不同的括号
对有理数定义a★b＝2a−b。分别求 (3★2)★5 和 3★(2★5)，说明能否省略括号。
- 第一式先算内层：3★2＝2×3−2＝4。
- 把整个内层替换为4：(3★2)★5＝4★5＝2×4−5＝3。
- 第二式先算另一内层：2★5＝2×2−5＝−1。负数在允许范围内。
- 把−1放进右槽：3★(−1)＝2×3−(−1)＝7。减去负数变成加1。
核查：直接展开分别为2(2×3−2)−5＝3和2×3−(2×2−5)＝7。答案不同，说明本定义不能任意改变括号。
计算与数列 · 方法讲解
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定义新运算
先固定左右位置，再把内层结果整体代入。
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01
括号变了，答案会变吗？
在有理数范围定义 a★b＝2a−b。求 (3★2)★5 与 3★(2★5)，并求满足 (x★3)★(2★1)＝11 的 x。★是本题自定义符号，a 是左输入，b 是右输入。
第1步 / 共4步：定位内层
(3★2)★5，内层的左输入是3，右输入是2。
左输入 a3
右输入 b2
a★b＝2a−b
对应左侧“左边先算”题
先算括号
内层是一个完整输入
先找到内层的左右输入。算完内层后，只用一个结果替换整对括号。
槽的左右顺序固定。负数作为整体代入时，用括号包住。
02
学习准备与适用条件
学习目标
- 把定义中的字母对应到每次运算的左右位置。
- 按括号从内到外求值，不漏掉负号。
- 将复杂输入当整体，沿运算树逆推未知数。
- 用反例检验运算律，并检查定义域。
必要前置
会有理数四则、括号与负数运算，理解用字母代数；会解简单一元一次方程。新运算是对某个输入范围规定的规则，符号本身不说明先后顺序。
S班是本项目教学深度编排，含嵌套逆推、一般式与反例，不代表已核实的机构分班或六上必学课纲。本页例题、练习均为自拟。
03
为什么成立：每个节点只执行一次定义
一、字母是输入槽，不是固定数值
定义 a★b＝2a−b 对有理数 a、b 都适用。求 3★2 时，让 a＝3、b＝2，得2×3−2＝4；求2★3时，a＝2、b＝3，得2×2−3＝1。相同字母在不同一次运算中可以接收不同的数。
二、嵌套表达式是运算树
(3★2)★5 的最外层左输入是整个 (3★2)，右输入是5。先算内层结果4，外层就是4★5。若先按定义展开外层，也必须保留整体：
(3★2)★5＝2(3★2)−5＝2(2×3−2)−5＝3
两种算法相同，因为都在同一个位置替换同一个输入。3★(2★5) 则是另一棵树：最外层左输入是3，右输入是整个 (2★5)，所以2×3−(2×2−5)＝7。不能把括号当成装饰删掉。
三、逆推先把已知子式算完
如果某个节点的输入之一未知，先把已知输入与输出写成方程，再求未知输入。对★而言，若 a★b＝c，则2a−b＝c；已知 b、c 时 a＝(c+b)/2；已知 a、c 时 b＝2a−c。每一步都是等价变形，在有理数范围不会引入额外解。
四、运算律要逐条检验
| 问题 | 推导与结论 |
|---|---|
| 交换律 a★b＝b★a？ | 两边为2a−b、2b−a。相等当且仅当3(a−b)＝0，即a＝b。取a＝3、b＝2，4≠1，故交换律不成立。 |
| 结合律 (a★b)★c＝a★(b★c)？ | 左边4a−2b−c，右边2a−2b+c，两边之差为2(a−c)。仅当a＝c时相等；取a＝3、b＝2、c＝5，3≠7，故结合律不成立。 |
“运算律不成立”指不对所有允许输入都成立；并非每一组输入都不相等。例如 a＝b 时交换两槽结果相同，a＝c 时上述两种括号结果相同。这些特例不能证明普遍规律。
04
两道完整例题
例题二｜双枝嵌套，沿树逆推
仍对有理数定义a★b＝2a−b。已知 (x★3)★(2★1)＝11，求x，并代回检查。
- 先算没有未知数的右枝：2★1＝2×2−1＝3，原式成为 (x★3)★3＝11。
- 把左枝暂记为y：y★3＝11，即2y−3＝11，所以y＝(11+3)÷2＝7。
- 倒推左枝：x★3＝7，即2x−3＝7，得x＝(7+3)÷2＝5。
- 代回最初的表达式：5★3＝7，2★1＝3，7★3＝14−3＝11，符合原式。
也可展开成2(2x−3)−(2×2−1)＝11，即4x−9＝11，得到相同的唯一解5。不能把两个输入中出现的“3”当作同一个运算步骤。
05
迁移练习：换规则，也换检查
练习一｜分式定义的嵌套
对有理数a、b，且a≠b，定义a◇b＝(a+b)/(a−b)。求(5◇3)◇2，并说明每层是否合法。
展开完整解析
- 先算5◇3＝(5+3)/(5−3)＝8/2＝4，内层分母2≠0。
- 外层为4◇2＝(4+2)/(4−2)＝6/2＝3，外层分母2≠0。
- 注意两次出现的a分别取5和4。不能只检查原始输入是否相等，要检查每次得到的新输入。
练习二｜未知数在外层左槽
对有理数定义a★b＝2a−b。若x★(3★1)＝9，求x，说明为什么不先把x与3运算。
展开完整解析
括号内3★1＝2×3−1＝5。原式成为x★5＝9，即2x−5＝9，所以x＝(9+5)/2＝7。代回：7★(3★1)＝7★5＝14−5＝9。
最外层右输入是整个(3★1)，并不存在x★3这个子式。把x与3先算会改变运算树，与题意不同。
06
边界反例与回顾
输入都不相等，整式就一定能算吗？
按练习一的◇，尝试3◇(2◇1)。内层2◇1＝(2+1)/(2−1)＝3，合法；但外层变成3◇3，分母3−3＝0，原式无定义。不能给出0、无穷大或一个普通数作为答案。
- 左右位置不能换。定义a★b＝2a−b，与“两个数先相减再乘2”不同。
- 内层结果整体替换。2(a★b) 不能漏成2a★b；展开需要按原定义保留括号。
- 新符号没有自动继承的优先级。先读题目的顺序约定，本页用括号消除歧义。
- 少量等式不能证明运算律。一组合法反例足以否定普遍等式，证明普遍成立需要对任意允许输入推导。
- 逆推还要检查输入范围。在整数、正整数等其他范围，代数求出的值可能不合法。
解题顺序：读清规则与范围 → 标出每层左右输入 → 从内向外代入，或由结果向内逆推 → 检查所有限制 → 代回原式。
07
逐章回看
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定义 a★b＝2a−b。字母表示位置：左输入翻倍，再减去右输入。
把 3、2 分别放进左右槽，3★2＝2×3−2＝4。
求 (3★2)★5，先处理括号内的 3★2。
内层得到 4，把整个结果放进外层左槽：4★5＝3。
若 (x★3)★(2★1)＝11，先算右枝：2★1＝3。
设左枝结果为 y，则 2y−3＝11，y＝7；再由 2x−3＝7 得 x＝5。
交换位置要重算：3★2＝4，2★3＝1。这个运算不满足交换律。
换括号后，2★5＝−1，再算 3★(−1)＝7，与原来的 3 不同。
新运算的顺序和运算律都看定义；逆推后必须代回原式。
08
学习与图示说明
输入槽、分枝和移动数值牌表示位置及计算依赖，不按数值大小绘制。★在本页有理数范围定义；◇另有分母非零条件。不同题目可能使用相同符号表示不同规则，应每题重新读定义。