例题一｜两个集合与“都不”
40名学生中，喜欢数学26人、喜欢科学22人，两项都喜欢14人。求至少喜欢一项、只喜欢一项和两项都不喜欢的人数。这里“只喜欢一项”指这两项中恰好一项。
- 交集14人被加了两遍，至少一项＝26＋22−14＝34人。
- 只数学＝26−14＝12人，只科学＝22−14＝8人。恰好一项＝12＋8＝20人，也可算26＋22−2×14。
- 两项都不喜欢＝40−34＝6人。
- 按互斥区域核对：12＋8＋14＋6＝40，与全集一致。
计数与概率方法 · 方法讲解
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容斥原理
先允许重复，再逐层修正，让每个对象恰好被数一次。
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01
三项都参加的人，为什么还要加回来？
50名学生可自由参加甲、乙、丙三个项目。参加甲23人、乙20人、丙17人；同时参加甲乙7人、甲丙6人、乙丙5人；三项都参加2人。“同时参加两项”包含三项都参加的人。至少参加一项的有多少人？
七个互斥区域中的数字表示人数，圆面积不按人数比例。
第1步 / 共3步：相加，得到参与人次
23＋20＋17＝60人次，还不是不同的人数。
三项都参加的一个人：被计3次。
目标是不同的人数
三项的人数直接相加，参加两项的人被计2次，三项都参加的人被计3次。先看每个人被数了几次，再判断如何修正。
60人次
23＋20＋17＝60
这里的60来自左侧同一组人数。人数图不是按面积画的统计图，不能量圆面积猜人数。
02
原理：从一个对象的计数次数出发
学习目标与前置
理解并集、交集、全集及加减法。能解释两集合修正，推出三集合公式，并把“恰好”“至少”“都不”转成互斥区域。
本页是S班方法训练的项目编排，不代表特定学校或机构的官方课纲。三个集合先用有限人数模型，不直接推广到更多集合。
符号与条件
A、B、C是同一有限全集U中的三个集合；|A|表示A中不同对象的个数。A∪B表示至少属于一个；A∩B表示同时属于二者，也可以属于C。必须统一对象、时间和统计范围。
两个集合：重复一次，就减一次
|A∪B|＝|A|＋|B|−|A∩B|
只在A或只在B的对象被加一次；同时在A、B的对象被加两次再减一次，也留下1次；两者都不在的对象留下0次。每个对象的最终系数恰好符合并集要求。
三个集合：三重部分先被加三次，又被减三次
|A∪B∪C|＝|A|＋|B|＋|C|
−|A∩B|−|A∩C|−|B∩C|
＋|A∩B∩C|
只属于一个集合的对象：1−0＋0＝1。恰好属于两个集合：2−1＋0＝1。属于三个集合：3−3＋1＝1。三重交集同时在三个两两交集中，减两两交集会把它减光，所以最后必须加一次三重交集。
“减去两两交集”不等于“只减恰好参加两项的人”。若数据本身给的是“恰好甲乙、不参加丙”，它已经排除了三重部分，不能直接当作|A∩B|套同一个式子。
03
S班结构：恰好、至少与补集
设S₁＝|A|＋|B|＋|C|，S₂＝|A∩B|＋|A∩C|＋|B∩C|，T＝|A∩B∩C|。再设x₁、x₂、x₃分别为恰好属于1、2、3个集合的人数。
S₁＝x₁＋2x₂＋3x₃
S₂＝x₂＋3x₃，T＝x₃
第二式的三重系数是3，因为一个三项对象属于甲乙、甲丙、乙丙三个交集。逐项消去即可得到下表，而不是只背口诀。
| 要求 | 计算 | 本题结果 |
|---|---|---|
| 恰好三项 | T | 2人 |
| 恰好两项 | S₂−3T | 18−6＝12人 |
| 至少两项 | S₂−2T | 18−4＝14人 |
| 恰好一项 | S₁−2S₂＋3T | 60−36＋6＝30人 |
| 至少一项 | S₁−S₂＋T | 60−18＋2＝44人 |
| 一项也没有 | |U|−(S₁−S₂＋T) | 50−44＝6人 |
例如恰好一项：由x₂＝S₂−3T代回S₁，得x₁＝S₁−2(S₂−3T)−3T＝S₁−2S₂＋3T。“至少两项”则是x₂＋x₃。没有全集大小时，通常无法求一项也没有的人数。
04
两道完整例题
例题二｜三集合反推七个区域
50名学生参加甲、乙、丙项目，人数分别23、20、17；同时甲乙7人、甲丙6人、乙丙5人；三项都参加2人。两两交集均含三重交集。求至少一项、恰好两项、至少两项、恰好一项及都不参加的人数。
- 先取最深处：三项2人。仅甲乙＝7−2＝5，仅甲丙＝6−2＝4，仅乙丙＝5−2＝3。
- 只甲＝23−5−4−2＝12；只乙＝20−5−3−2＝10；只丙＝17−4−3−2＝8。
- 并集＝12＋10＋8＋5＋4＋3＋2＝44人，与23＋20＋17−7−6−5＋2一致。
- 恰好两项＝5＋4＋3＝12人；至少两项＝12＋2＝14人；恰好一项＝12＋10＋8＝30人。
- 都不＝50−44＝6人。核对：恰好一项30＋恰好两项12＋三项2＋都不6＝50。
七个区域人数均非负，且合计不超过50。本题数据可实现。先从三重向外反推，是检查容斥数据的有效办法。
05
迁移练习
例题与练习均为本页自拟教学题。先用文字说明“同时”是否包含第三项，再计算。
练习一｜至少一项与恰好一项
45人中，会游泳24人、会骑车21人，两项都会9人。求至少会一项、恰好会一项和两项都不会的人数。
展开完整解析
至少一项＝24＋21−9＝36人。只游泳24−9＝15人，只骑车21−9＝12人，所以恰好一项＝15＋12＝27人。都不会＝45−36＝9人。
核对15＋12＋9＋9＝45。交集与“都不会”恰好同为9只是本题巧合，两者含义不同。
练习二｜从两两交集求“恰好”
60人中，参加A、B、C活动分别30、28、22人；A∩B有10人、A∩C有9人、B∩C有8人，均包含三项都参加的3人。求恰好两项、至少两项、恰好一项与都不参加的人数。
展开完整解析
S₁＝30＋28＋22＝80，S₂＝10＋9＋8＝27，T＝3。恰好两项＝27−3×3＝18人；至少两项＝18＋3＝21人。
并集＝80−27＋3＝56人。恰好一项＝56−18−3＝35人；都不＝60−56＝4人。
逐区复核：仅AB＝7，仅AC＝6，仅BC＝5；只A＝30−7−6−3＝14，只B＝28−7−5−3＝13，只C＝22−6−5−3＝8。35＋18＋3＋4＝60，七个区域均非负。
06
边界、反例与回顾
公式算出一个数，不代表数据可能
若|A|＝12，|B|＝15，|C|＝14，|A∩B|＝9，|A∩C|＝8，|B∩C|＝6，T＝2，则容斥形式上给出12＋15＋14−9−8−6＋2＝20。但只属于A的区域为12−9−8＋2＝−3，不可能有负3人。因此这组数据不能来自真实的三个有限集合，不能把20当成有效调查答案。
极端情形也要能解释
若A＝B＝C，且每组都是同样的2人，那么并集是2＋2＋2−2−2−2＋2＝2。若不补回三重交集，会错算为0。这直接检查了最后补回的方向。若三重交集为0，三集合最后一项自然消失。
- “至少一项”是并集，“每项都参加”是三重交集，不是同一个要求。
- 三个两两交集并不互斥，不能把它们的和直接当作至少两项人数。
- 题目若说“恰好甲乙”，先加上三重人数，才成为包含三重的|A∩B|。
- 都不参加要用同一全集减并集；全集未知时，不编造总人数。
- 检查顺序：对象与范围 → 交集语义 → 每类对象系数 → 七区非负 → 全集核对。
07
逐章回看
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喜欢数学26人，科学22人，两项都喜欢14人。合计48把这14人算了两遍。
减掉一次交集，至少喜欢一项有34人。两个集合容斥，就是修正重复。
再看50名学生，甲、乙、丙项目分别有23、20、17人。先加得60人次。
三项都参加的2人，每人被加了三次。图中七块区域互不重叠，数字才表示人数。
两两交集分别7、6、5人，均包含三项都参加的人。相加后依次减去，得到42。
追踪三项都参加的一个人：加了三次，又减了三次，竟然一次也没留下。
所以三重交集要补回一次。60减18加2，至少参加一项有44人，未参加有6人。
若问恰好两项，两两交集和18把三重部分算了三次，要减去三乘2，得到12人。
至少两项，再把三项的2人加一次，得到14人。先分清题意，再检查每个人被数了几次。