对称与旋转去重计数

四个等距位置组成圆环，恰放两颗红珠和两颗蓝珠，同色珠不可区分。整圈旋转后能重合就算同一种；本题不允许翻面，不允许把红、蓝名称互换。到底有几种图案？

本页是项目编排的 S 班拓展，不声称是六年级上学期或当地机构必学内容。结论用于有限个位置和有限种合法配色；合法图案集合必须在允许的每个变换下保持合法。颜色名称固定，位置等距，同色珠不可区分。

1. 先说清等价规则

若某个允许的变换能把记录甲变成记录乙，就说二者等价（equivalent）。一个记录经过所有允许变换得到的不同记录组成一类，称为轨道（orbit）。只旋转时不能跨越到镜像图案；若允许翻面，则反射也算允许变换，原有的某些类会合并。

允许变换必须包含不动操作，能撤回，且连续操作的结果仍在其中。四位置的旋转是 0°、90°、180°、270°；360°与0°相同，不重复列入。“只许转90°一次”不是这里使用的完整等价规则，连续两次的180°也必须纳入。

2. 为什么六个记录只分成两类？

给位置临时编号，从上方顺时针写下颜色。相邻型的记录是：

红红蓝蓝 → 蓝红红蓝 → 蓝蓝红红 → 红蓝蓝红

这四个记录互相旋转可达，属于一类。相对型只有“红蓝红蓝、蓝红蓝红”两个不同记录；再转半圈就重复。两红的位置只能相邻或相对，两类不相交，并且 4+2=6，所以没有遗漏。

反例：C(4,2)÷4=6÷4=3/2，不是合法的类数。操作有四次不代表每类有四个不同记录。允许翻面后，本题这两类各自仍是原来的类，所以仍是2类，也不能把2再除以2。

3. 什么时候可以直接除？

若每一幅合法图案经过 n 次旋转，都产生恰好 n 个不同的有向记录，才能把记录总数除以 n。等价地，除了0°外，没有任何旋转让完整图案保持原样。若所有轨道统一为另一个大小 m，则也可除以 m，但必须先证明大小确实相同。

例如四颗互不相同的珠子，各用一次，没有起点且只按旋转合并。任何非零旋转都会改变每种珠子的位置，所以每类恰含4个记录，共 4!÷4=6 类。若圆环有不可移动的起点标记，旋转不再是允许变换；四位置两红两蓝应保留6个记录。

4. 不动点平均法：处理大小不同的轨道

对一个允许变换 g，能被它保持不变的整幅有向记录叫作 g 的不动点（fixed point），记数量为 F(g)。这里不是数“停在原处的珠子”。

这称为伯恩赛德引理（Burnside’s lemma）。只按 n 等分位置的旋转合并时，恰有 n 个旋转；允许翻面且 n≥3 时，有 n 个旋转及 n 个反射，共2n个变换。

因此类数=(6+0+2+0)÷4=2，与完整枚举相同。

5. 为什么取平均能修正特殊对称？

设共有 q 个允许变换。考虑一个含 m 个不同记录的轨道，从其中一个记录 x 出发，q 个变换会把 x 送到该类的 m 个记录。

把 x 送到某个记录 y 的变换数，都等于把 x 留在自身的变换数 s：选定一种把 x 送到 y 的操作，先做一个固定 x 的操作再做它，得到全部送到 y 的操作，反过来也可唯一还原。因此 q=m×s。

现在数所有“变换 g 固定记录 x”的配对。按变换数，配对总数是 ΣF(g)；按一个轨道数，该类有 m 个记录，每个被 s=q/m 个变换固定，总贡献 m×(q/m)=q。每类恰好贡献 q，所以总配对数除以 q 就是类数。特殊对称越多，轨道越小，但每个记录被固定的次数越多，二者正好抵消。

• 有编号记录不等于最终图案。临时编号只帮助完整枚举；永久起点标记会改变题目允许的变换。
• 同类大小可能不同。先找非零旋转后仍不变的图案，再决定能否直接相除。
• 不动点数整幅配色。珠子都移动也可能配色重合；180°下的交替图案就是例子。
• 数量限制必须保留。允许某个变换，并不代表其所有不动配色都合法，仍须检查红珠数等约束。
• 旋转与反射分清。六位置例题的4类在允许翻面后成为3类；不是固定减半。
• 不完整变换集合不能套平均。只有0°和90°却忽略180°与270°，不构成这里的完整旋转规则。

解题路线：写清合法图案与等价规则 → 编号得到有向记录 → 小规模按旋转分组 → 检查对称与轨道大小 → 需要时按全部允许变换数不动点 → 平均并独立复核。

本页只涉及有限圆周位置的配色。不同珠子、固定标记、允许颜色置换、禁止相邻同色、非等距位置或三维旋转，都会改变合法记录或允许变换，不能照搬本页数值。关于一般群作用、波利亚计数等更大范围内容不在本页要求内。

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