平面几何 · 比例与面积
先确认平行与对应：长度同率，三角形面积平方，梯形带相减。
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△ABC 中，D 在 AB 上，E 在 AC 上，DE ∥ BC，AD:AB=2:3。△ABC 的面积为108平方厘米。求 △ADE 的面积和梯形 DBCE 的面积。图形保留平行和比例，文字标注作偏移示意。
第1步 / 共5步：标清对应
先确认 D、E 在同一顶点 A 的两条边上；DE 与 BC 平行。
对应左侧面积108的同一题
2 : 3
AD 对 AB，AE 对 AC，DE 对 BC。不要把 AD 对 DB 当成缩放比。
完整计算：108×(2/3)²=48；108−48=60。面积单位均为平方厘米。
三角形面积公式、同高面积比等于底比、平行线间距离相等、分数四则和平方。相似三角形是可选的快捷语言，本页同时给出面积法推导。
定义：内截线指连接三角形两边上两点的线段。本页研究它与第三边平行的情形，三角形面积必须大于0。旁白中的“两腰”仅指从同一顶点出发的两条边，不要求等长。字母 S(PQR) 表示 △PQR 的面积；∥ 表示平行。
本页是项目编排的 S班拓展，不声称六年级上册必学或任何机构官方课纲。“金字塔形”仅为二维三角形分层的别称；不讨论立体金字塔的体积。
设 D、E 分别在 AB、AC 的内部，DE ∥ BC。连接 BE 和 CD。△BDE 与 △CDE 共用底 DE，B、C 在与 DE 平行的直线 BC 上，所以到 DE 的高相等，二者等面积。
给二者各加上 △ADE，便有 S(ABE)=S(ACD)。这是两块不同的拼合区域，但都由同一块 △ADE 加上一块等面积区域组成。
△ABE 与 △ABC 的底 AE、AC 在同一直线，顶点 B 相同，所以 S(ABE)/S(ABC)=AE/AC。△ACD 与 △ABC 的底 AD、AB 在同一直线，顶点 C 相同，所以 S(ACD)/S(ABC)=AD/AB。于是：
AD/AB = AE/AC = k，且 0 < k < 1。
△ADE 与 △ABE 以 AD、AB 为底、E 为共同顶点，面积比为 k。刚才已有 S(ABE)/S(ABC)=k。两式相乘：
S(ADE)/S(ABC) = [S(ADE)/S(ABE)] × [S(ABE)/S(ABC)] = k²。
这说明面积要缩两次。还可以只用面积法求截线长度：S(BDE)=S(ABE)−S(ADE)=k(1−k)S(ABC)，而 S(BCD)=(1−k)S(ABC)。△BDE 与 △BCD 分别以 DE、BC 为底，它们的高都是两条平行线间的距离，所以 DE/BC=S(BDE)/S(BCD)=k。再由底×高÷2与面积比 k²，得对应高比 h/H=k。也可用两角分别相等判定相似，直接得到这些长度关系；使用此快捷法须先掌握相似判定。
AD/AB = AE/AC = DE/BC = h/H = k；S(ADE)/S(ABC)=k²。
h、H 分别是以 DE、BC 为底时从 A 作出的高。长度比必须比较对应边或对应高。AD:DB 只表示一条边内两段之比，不能直接平方。
沿两腰同率取两个内截点，距离顶点的比例为 p、q，0<p<q<1，两条截线都平行 BC。累计三角形面积占比依次为 p²、q²、1；三层面积占比为 p²、q²−p²、1−q²。
若高三等分，p=1/3、q=2/3。累计面积比为1:4:9，三层面积比为1:3:5。不能把三层等高误认为等面积，因为各层宽度不同。
条件：△ABC 中，D∈AB、E∈AC，DE ∥ BC，AD:DB=3:2，BC=15厘米，梯形 DBCE 面积为96平方厘米。求 DE 和 △ADE 的面积。
复核：54+96=150；9:15=3:5。题目给的是梯形带96，不能直接用96×9/25。
条件：D、O、C 共线，E、O、B 共线，O 位于 DC、EB 内部，DE ∥ BC，DE=6厘米、BC=10厘米。△DOE 面积为27平方厘米。求 △BOC 面积与这两个三角形面积之和。
连接 DB、EC。△DBC 与 △EBC 共用底 BC，D、E 在平行线 DE 上，故等面积。各减去 △BOC 得 S(DOB)=S(EOC)。两者以 OB、OE 为底、D、C 为顶点；也可按 OD、OC 为底分拆面积。具体令 x=OD/OC、y=OE/OB：以直线 DOC 为底线，E、B 到该线的高之比为 OE/OB=y，所以 S(DOE)/S(COB)=xy；同时 S(DOB)/S(COB)=x，S(EOC)/S(COB)=y。由等面积得 x=y。最后，△DBE 与 △EBC 的底分别为 DE、BC，高同为两平行线间距离。令下方面积为 S，则这两个三角形面积分别为(x²+x)S、(1+x)S，故 DE/BC=(x²+x)/(1+x)=x。对应高比再由面积公式求出。于是面积比就是(DE/BC)²。此论证只使用等底等高及同高面积比等于底比，不依赖图看起来相似。
△ABC 中，DE ∥ BC，D、E 在 AB、AC 内部。AD:DB=2:1，S(ABC)=108平方厘米。求 S(ADE) 和 S(DBCE)。
AD:AB=2:(2+1)=2:3。小三角形面积比为(2/3)²=4/9，所以 S(ADE)=108×4/9=48平方厘米。梯形带为108−48=60平方厘米。不能把2:1直接平方。
同样的内截线配置，DE ∥ BC。已知 S(ADE):S(DBCE)=4:5，求 AD:DB。
小三角形与整体的面积比为4:(4+5)=4:9。长度比为正，且(2/3)²=4/9，所以 AD:AB=2:3。剩下 DB 占整边1/3，故 AD:DB=2:1。平方关系用的是“小三角形:整体”，不是“小三角形:梯形带”。
D、O、C 共线，E、O、B 共线，O 在两线段内部，DE ∥ BC。DE:BC=4:7，S(DOE)=32平方厘米。求 S(BOC)。
对应三角形面积比为4²:7²=16:49。S(BOC)=32×49/16=98平方厘米。上下高不相等，不能只按4:7分配面积。
取 D 为 AB 的中点，E 在 AC 上且 AE/AC=3/4。这时 AD/AB=1/2，AE/AC=3/4，不同率，所以 DE 不平行 BC。连续做两次同高面积比较，仍得 S(ADE)/S(ABC)=(1/2)×(3/4)=3/8，不是(1/2)²=1/4。只给一条边比，不能判断面积比。
解题顺序：确认平行与共顶点 → 标出对应对象 → 长度比统一到整体 → 平方得到累计三角形面积比 → 余带或分层相减 → 检查面积和与单位。
点击章节标题，可定位到视频中的对应讲解。
三角形ABC中，D、E在两腰上，DE平行BC。AD是AB的三分之二。
为什么两腰按同一比例分割？连接BE和CD，先看两个小三角形。
BDE与CDE等底等高。各加上ADE，得到ABE与ACD等面积。
同高三角形面积比等于底边比，因此两腰的分割比例相同。
从ABC到ABE，再到ADE，面积连续乘两次三分之二，得到九分之四。
若整三角形面积是一百零八，小三角形是四十八，梯形带是六十。
把高三等分，截线长度比是一比二比三，累计面积比是一比四比九。
分层面积要相减，依次是一比三比五。等高的三层并不等面积。
沙漏形中，上下底平行，两腰交于O。底长三比五，面积就是九比二十五。
先查平行和对应，再求长度比，平方得三角形面积比，分层最后做减法。