逻辑策略 · 方法讲解
先构造分类，再用最坏容量说明“总会有”。
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将7个物体全部放入甲、乙、丙3个不同抽屉，每个物体恰放入一个抽屉，允许空屉。是否必定有一屉至少3个？这里不限制每屉容量，也不要求平均分配。
第1步 / 共4步：先看目标
要避免出现3个，就只能让每屉最多2个。下一步把这份容量装满。
还有7个物体待放。
对应左侧7个物体与3个抽屉
6个
若每屉都最多2个，总共只能装3×2=6个。
此演示走一条最坏容量路径。结论适用于所有分配，依据是右侧的反证，不是因为画出了几种分法。
整数除法、带余除法、倍数和简单反证。抽屉可以是盒子、月份、余数类或数对，不一定是真实家具。每个物体必须恰好归入一类，不能漏分或重复计数。
本页“S班”指本项目教学深度，涵盖构造分类与阈值锐性；不代表已经核实的机构课纲。例题与练习均为自拟教学题。
抽屉原理（Pigeonhole principle）：把超过k个物体放入k个抽屉，至少一屉有2个。若每屉最多1个，总数只能到k，因此超过k时必定突破。
一般地，N是非负整数，k是正整数，N个物体全部放进k个抽屉，至少有一屉不小于N/k向上取整。向上取整记作⌈N/k⌉，表示不小于N/k的最小整数。
若r=0且N>0，假设每屉最多q−1个，总数至多k(q−1)<N，矛盾。若r>0，假设每屉最多q个，总数至多kq<N，同样矛盾。N=0时所有抽屉都为空，保证数为0。
例如17个物体入5屉，17=3×5+2，保证某屉至少4个。不要求先给每屉3个；实际可为(17,0,0,0,0)，也可为(4,4,3,3,3)。平均数17/5=3.4不是任何一屉的必然实际数量，向上取整的4是最大屉数量的保证下界。
这里m为正整数。要避免达到m，每屉至多m−1个，k屉总容量为k(m−1)。所以阈值是：
少一个时可每屉恰放m−1个，尚无一屉达到m；加一个后不论怎样摆，都超过该总容量。因此同时证明了“足够”和“最少”。m=1时阈值为1，也成立。
例题一 · 余数抽屉
证明其中必有两个数，它们的差是7的倍数。这里讨论差，不是和；取大数减小数即可得到正的7的倍数。
示例1和8同余，8−1=7。示例不是证明的全部；证明只依赖8个物体与7个类别。边界：7个数可选1、2、3、4、5、6、7，余数各不相同，任意非零差都小于7，故8是这一范围内的最少保证数量。
同余不保证和可被7整除：1与8同余，但1+8=9。要研究和，应按互补余数另行构造，不可照搬差的结论。
例题二 · S班结构变式：目标反推抽屉
要求对任何选法都保证成立，并说明最少数量。
为什么不直接按奇偶分两类？同奇偶不能推出和为11；分类必须与要证明的性质相连。为什么强调“不同”？若允许重复选6次1，结论就不成立。
25名学生按出生月份分成12类。至少有多少名学生出生在同一个月份？能否保证其中4名同月？这里只按月份分类，不计年份。
学生是25个物体，月份是12个抽屉。若每月最多2人，总共最多24人。25>24，所以保证至少3名同月。
不能保证4名：构造1个月3人、其余11个月各2人，总数3+11×2=25，没有月份达到4人。故3是仅凭人数能给出的最佳保证，不代表真实班级必定有一个月恰好3人。
从1到12中最少选几个不同整数，才能保证其中两数之差是4的倍数？证明充分性与最少性。
按除以4的余数0、1、2、3分成4屉，选5个数必有两个同余。两数写成4u+r与4v+r，相减为4(u−v)，所以5个足够。
4个不一定够：选{1,2,3,4}，四种余数各一个，任意两数的正差是1、2或3，不是4的倍数。因此最少为5个。不能因为有12个候选数，就把12当成抽屉数；本题分类依据是余数。
解题链：确定物体 → 围绕目标构造分类 → 假设各屉都未达标 → 算最大容量 → 超过容量推出存在 → 构造临界反例。
再想一步：若不同抽屉允许的上限分别为c₁、c₂、…、cₖ，那么超过c₁+c₂+…+cₖ时，至少有一屉突破它自己的上限。这仍是同一个容量反证；不必强求各屉容量相同。
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七个物体放进三个抽屉。不论怎样放，总能保证某个抽屉至少有三个吗？
反过来想：如果每个抽屉最多两个，三个抽屉总共只能放六个。
第七个无论放进哪一屉，都会让某一屉达到三个。这里保证存在，不必事先知道是哪一屉。
一般地，N个物体放入k个抽屉，至少有一屉达到N除以k向上取整。
要保证某屉至少m个，先算每屉最多m减一个时的总容量，再加一个物体。刚好装满还不够。
抽屉不一定是真盒子。从一到二十中任选八个不同整数，按除以七的余数分类。
余数只有零到六，共七类。八个数必有两个落在同一类。图中选出一和八作示例。
同余的两数写成七乘以商，再加同一个余数。相减后余数抵消，差就是七的倍数。
先构造覆盖全部对象的抽屉，再数最坏容量。至少是保证下界，不是恰好，也不是每屉都有。
图形表示物体数量与分类关系，不表示真实抽屉容量或物体体积。第七个放入哪里可切换；这不表示只能按演示顺序摆放。整数题的演示选数只是一组实例，普遍结论由容量反证和带余除法推导。