计数与概率方法 · S班
先问交换后算不算新结果，再核对每组重复了几次。
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甲、乙、丙、丁四个不同的人，每人最多入选一次。任务一：选正、副队长各一人；任务二：选一个不分角色的两人小组。两种任务都选两人，但最终结果的定义不同。
六个框列出全部两人集合；每框可写成两个有序记录。
初始：四人选两人。正副队长有12种，两人小组有6种。
四人选两人 · 两种结果定义
12种；6组
角色不同的结果分别计数；同一小组不因交换记录顺序而增加。
4×3=12；12÷2=6
演示只比较这两个四选二任务。后文五选三、七选三的答案需按各自题目计算，不能照搬这里的6组。
前置：乘法计数原理、分类加法计数，以及“不同结果”的定义。目标：说明交换次序是否产生新结果，解释除数为何是 r!，把限制条件转为固定、分类或排除。S班是本项目教学深度标记，本页不是当地官方六上课纲声明。
排列（permutation）在本页指从 n 个不同对象中，不放回地依次选 r 个，且区分第1、第2、…、第 r 个位置。第一步有 n 种选择，第二步有 n−1 种，直到第 r 步有 n−r+1 种。每条完整选择路径对应唯一有序结果，所以
P(n,r)=n×(n−1)×…×(n−r+1)。
这里 n、r 为整数，0≤r≤n。选正副队长时位置就是角色；排列不一定指站成一排。
组合（combination）只记录选了哪些对象。先按顺序选，再把同一组的不同内部次序合并。对任意固定的 r 人组，第一个记录谁有 r 种，第二个有 r−1 种，依次相乘，共 r×(r−1)×…×1 种。这叫 r 的阶乘（factorial），记为 r!。
任意一组都是 r 个不同的人，因此每一组恰好对应同样多的 r! 个有序结果。各组互不相交并覆盖全部有序结果，所以
C(n,r)=P(n,r)÷r!。
符号 P、C 在本页表示上述计数，也常见 A 表示排列数。r=0 时空组只有一个，约定0!=1、P(n,0)=C(n,0)=1；r=n 时组合只有一个“全选”结果。公式中的空乘积按1处理。
本页对象彼此不同、一次最多选取一次、入选人数固定。若允许反复选同一个人，或物品有相同元素，重复次数需要重新分析。本页不展开环排、相邻捆绑或重复元素排列。
例题一 · 同页比较有序与无序
甲、乙、丙、丁、戊五人，每人最多入选一次。（1）选队长、副队长、记录员各一人；（2）选不分角色的三人小组；（3）先选三人小组，再从组内指定一名组长，其他两人不分角色。各有多少种？
第三问也可从60除以2，因为只有两名普通组员的交换不改变结果；不能除以6，组长身份必须保留。
例题二 · S班条件计数
仍为上述五人，选不分角色的三人小组。（1）必须选甲；（2）甲、乙不能同时入选；（3）甲、乙恰好选一人。分别求小组数。
分类复核第二问：甲乙都不选只有{丙、丁、戊}一组，恰选一人有6组，共1+6=7。“不能同时”包括两人都不选；“恰好一人”不包括这一组。大括号仅表示集合，不表示角色或次序。
七个不同的人（含甲）选不分角色的三人小组，每人至多入选一次。（1）不限条件有多少组？（2）必须含甲有多少组？（3）必须含甲，且甲固定为组长，另两人不分角色，有多少种？
（1）有序选为7×6×5=210，每个三人组出现3×2×1=6次，故210÷6=35组。（2）甲已固定，只需从其余六人选两人，6×5÷2=15组。（3）甲的角色已固定，并没有额外的组长选择，仍为15种。不能再乘3；若改为“含甲且组长可为组内任一人”，才是15×3=45种。
甲、乙、丙、丁、戊、己六个不同的人选不分角色的三人小组。（1）甲乙恰好入选一人有多少组？（2）甲乙至少入选一人有多少组？
（1）从甲乙选一人2种，再从其余四人选两人，得2×C(4,2)=2×6=12组。（2）全部C(6,3)=6×5×4÷6=20组；甲乙都不选有C(4,3)=4组，因此20−4=16组。
另一种核查：恰有一人12组，恰有两人时固定甲乙、第三人从另外四人中选，得4组；二者互斥，合计12+4=16。注意“至少一人”并不等于“恰好一人”。
五人选三人小组的有序记录为60条。每组内部可有6种次序，并不是3种；60÷3=20会多算一倍。应逐步推出3×2×1。
把记录清单写成“甲乙、乙甲、甲丙”，若忽略顺序，甲乙组出现两次，甲丙组只出现一次。3条记录实际对应2组，不能用3÷2。这里问题在于原清单没有按相同规则完整列出每组的有序记录。
若正队长必须是甲，副队长从乙丙丁中选，恰为3种。把“甲正乙副”交换成“乙正甲副”会违反条件，因此不能沿用四人任意选队长的12÷2来解答。先核对约束，再核对结果定义与重复倍数。
| 检查点 | 正确动作 |
|---|---|
| 交换两人的记录顺序 | 结果是否改变？角色或位置有无区别？ |
| 分步选择 | 对象是否不同？能否重复选？每步剩几种？ |
| 把有序转为无序 | 固定一组，数清内部允许的所有次序。 |
| 存在限制 | 先固定、互斥分类或从全集排除，再核查对应。 |
| 最后核查 | 每个结果是否出现相同次数？能否列举小规模验证？ |
回顾：顺序由结果定义决定；乘法来自逐步选择；除法来自等倍重复。先把“什么算一种”说清楚，再写公式。
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甲、乙、丙、丁四人选正副队长。先选正队长，有四种；再选副队长，只剩三种。
所以共有四乘三，十二种。甲正乙副和乙正甲副，角色不同，必须分别计算。
如果只选两人小组，交换先后不产生新小组。看左边，十二个有序结果，两两合并。
每组恰好出现两次，所以用十二除以二，得到六组。除以二来自重复次数。
五人选三人小组呢？先按顺序选，共五乘四乘三，六十种。
固定同组三人，内部次序有三乘二乘一，六种。所以无序小组有六十除以六，十种。
加上条件：三人小组必须有甲。先固定甲，再从另外四人中选两人。
余下两人不分顺序，四乘三除以二，得到六组。固定甲并不固定其余人的次序。
注意，只有每个最终结果都被重复计算相同次数，才能统一除去这个倍数。
先问交换后算不算新结果，再分步计数，最后核对重复倍数。这就是排列与组合的关键。
题目均为自拟。结论依据分步计数、逐项列举和等倍对应推导；有限枚举核查保存在本主题制作文件。卡片代表不同的人，框表示同一个人员集合，卡片厚度不表示人数或概率。动画示意不能代替上述对应关系证明。
本页只处理不同对象、不放回选取及基本角色限制。重复元素、环形排列、相邻捆绑等需要另外的模型。本页的S班深度是项目编排，不代表官方学期必学范围。