接送问题

甲、乙两组人数相等，同时从起点去30千米外的终点。两组步速都是5千米/时，车速为25千米/时。车除司机外每次只能载一组。限定方案为：车先载甲出发，中途放下甲后立即返回，接到向前步行的乙，再直接送乙到终点；甲下车后持续步行。上下车、掉头及加减速耗时忽略。选哪个下车点，使两组都到达所需的时间最短？

先讨论两组步速相同的模型。设全程 D 千米，步速 u 千米/时，车速 v 千米/时，其中 D>0、v>u>0。车在离起点 x 千米处放下甲，0≤x≤D。时间从同时出发算起。x=0按在起点立即换组的退化方案理解；最优点在路段内部。

一、去程结束时，乙已经走了一段

去程耗时 x/v，乙已走 ux/v。车与乙的间隔是 x−ux/v，而不是 x。车立即返回、乙继续前进，相向速度是 v+u，故返回耗时：

r = (x−ux/v)/(v+u)
= x(v−u)/[v(v+u)]

接到乙的时刻 m=x/v+r=2x/(v+u)，相遇点到起点的距离为：

y = um = 2ux/(v+u)

因为 v>u，0≤y≤x≤D，车返回时能在路段内接到乙。

二、分别列两组到达时间

三、为什么交点处最好？

当 x=0，甲全程步行，比乙晚到；当 x=D，甲直接乘车到终点，比乙早到。T甲连续且严格下降，T乙连续且严格上升，因此在0与D之间恰有一个交点 x*。

若 x<x*，较晚的是甲，向右移下车点能减少最终完成时间；若 x>x*，较晚的是乙，向左移下车点能减少最终完成时间。故 max(T甲,T乙) 在交点达到唯一最小值。这说明“同时到达”是上述条件下的推论，不是所有接送题的通用公理。

令 T甲 = T乙，可得
x* = D(v+u)/(v+3u)
T* = D(3v+u)/[v(v+3u)]

求完必须回代检查下车点、相遇点、载客容量和到达时间。步速不同时不套这条相同步速公式。

本页例题与练习均为自拟教学题，采用上面的理想化规则。

• 返回不是回起点。乙不停步，返回相遇用速度和；例题一返回15千米，不是22.5千米。
• 接到乙之前的时间不要漏算。乙的总时间是去程时间+返回时间+接到后乘车时间。
• 同到不等于走同样远。只有在相同步速、相同车速和本页规则下，才能推得两组步行距离相同。例题二是直接反例。
• 只优化需要优化的目标。最终完成时间是两个到达时间中的较大值；两组时间之和不代表“都到达”的用时。

解题顺序：固定运力与规则 → 定下车点 → 算返回相遇 → 分别列到达时间 → 比较较晚者 → 检查最优结论的范围。

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