逻辑、策略与经典模型
追踪一步怎样变化，找到整个过程都不变的量。
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桌上有标着1、2、3、4的四枚筹码。每次任选两枚，数字记作 a、b，取走它们并放回一枚标着 a＋b＋1 的筹码，直到只剩一枚。最后的数字会因选择顺序而不同吗？
固定示范路径：每次合并当前最左边两枚
第1步 / 共4步：初始状态
总和 S10
数量 n4
S＋n14
先分别观察总和与数量，再把两者相加。
对应左侧四枚筹码
14
所以 S＋n 保持14；终态数量是1，最后的数为14−1＝13。
动画只展示一种选法。下文用任意 a、b 的变化证明所有合法顺序都满足同一关系。筹码大小不代表数值大小。
学习目标：能写清操作规则，寻找和、差、奇偶或余数不变量；能证明每一步都保持该量；能用终态约束排除目标，并用合法构造证明可达。
必要前置：整数四则、奇偶性、带余除法、用字母表示数。余数部分允许负整数，例如 −1＝3×(−1)＋2，所以−1除以3的余数取2。本页约定除数为正、余数在0到除数减1之间。
S班是本项目教学深度编排，不代表已核实的官方分班或六上必学范围。所有例题与练习均为自拟教学题。
状态是当前全部数字或物品的安排。操作不变量（Invariant）是对所有合法操作都保持相同的量或性质。它可以是一个精确数，也可以是奇偶性、除以某数的余数。
设起点状态为 X₀，不变量为 I。若对任一合法一步 X→Y 都有 I(X)=I(Y)，那么沿任何有限合法路径 X₀→X₁→…→Xₖ，逐次应用这个等式可得 I(Xₖ)=I(X₀)。只验证几组数字不够：必须覆盖每一种合法操作。
设当前总和 S、数量 n≥2，任选数字 a、b：
S′＝S−a−b＋(a＋b＋1)＝S＋1
n′＝n−1；S′＋n′＝S＋n
因此不变量是 S＋n，总和 S 本身不是不变量。每一步都减少一枚，初始 N 枚经过恰好 N−1 步一定剩一枚；只要剩至少两枚就总能任选两枚继续操作。若初始和为 S₀，最后的数 x 满足：
| 一步发生什么 | 候选不变量 | 仍需核实 |
|---|---|---|
| 一个量加c，另一个减c | 二者的和 | 每种操作都这样变化吗？ |
| 两个量都加c | 二者的差 | 加的是同一个c吗？ |
| 总和只改变偶数 | 总和的奇偶性 | 不能据此说总和不变 |
| 整数只加减m的倍数 | 除以m的余数 | m固定且为正；不等于已经可达 |
适用边界：先明确所有合法操作、终止条件、是否允许负数及是否必须操作固定次数。不变量只约束这些规则下的路径；改了规则就要重新证明。
例题一 · 任意顺序的合并
黑板上写有整数1、2、…、20。每次任取两个数 a、b，擦去它们并写入 a＋b＋1，直至只剩一个数。求最后的数，并说明是否与选取顺序有关。
逆向拓展：若初始10个整数按同一规则合并，最后得到100，则初始总和为100−9=91。这只确定总和，不能据此确定原来10个数分别是多少。
例题二 · S班结构变式：余数筛选＋构造
当前数始终为整数，每次可以加6或减9，允许负数，不限操作次数。分别判断目标21和20是否可达。
本题允许负数，例如2→8→−1也是合法路径。若新增“每一步非负”等限制，需要再次检查构造是否越界。
黑板上写1到8。每次任取两个数 a、b，擦去后写入 |a−b|（即大数减小数），直至剩一个数。最后能是1吗？能是0吗？允许0和重复数字。
若a≥b，新和等于 S−a−b＋(a−b)=S−2b；若b≥a，同理为S−2a。每次总和减少偶数，故总和的奇偶性不变，但总和通常不保持原值。
初始和1＋…＋8=36为偶数。终态的数必须为偶数，所以不能是1。
0通过奇偶检查，仍需构造。先分别把(1,2)、(3,4)、(5,6)、(7,8)合为1，得到[1,1,1,1]；再把两对1各合成0，得到[0,0]；最后|0−0|=0。共7次，全部合法，所以能是0。
有标着2、5、8、11的四枚筹码。每次任取 a、b 换成 a＋b＋2，直到剩一枚。求最后的数，并找出一个不变量。
总和每次增加2，数量每次减少1，因此 S＋2n 不变。初始和26、数量4，不变量为26＋2×4=34。
终态一个数x满足x＋2=34，故x=32。直接构造核查：2、5合成9；9、8合成19；19、11合成32。总和26加上3次的增量6也是32。
不能机械照抄S＋n。一般换成a＋b＋c（c固定）时，S＋cn不变；N枚最终为S₀＋c(N−1)。这一公式仍需N是正整数且每次操作恰好两枚换一枚。
改规则：从2开始，只允许加3，能到−1吗？2和−1除以3都余2，因此余数相同；但每次只会增加，所有可达数为2＋3k（k为非负整数），始终不小于2。所以−1不可达。
余数不变给出的是必要条件。在这条新规则下，大小的限制进一步排除了目标；原例题的“减9”已不允许，不能借用2→8→−1。
找到任一真正不变量，起点与目标的值不同，就能断定不存在合法路径。
写出全部合法的有限步骤，或给出覆盖目标的构造证明。不变量值相同本身通常不够。
“始终增加”叫单调性质，并不是不变量。本反例用单调限制补充余数筛选；两类工具可以配合，但名称和证明作用要分清。
四步检查：写清状态与规则 → 证明一步不变 → 比较起点和终点 → 区分排除结论与构造结论。
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桌上有一、二、三、四四枚数字筹码。每次取两枚，换成它们的和再加一。
先把一和二换成四。总和从十变成十一，筹码数从四变成三。
继续合并，和每次增加一，数量每次减少一。它们的和一直等于十四。
设当前总和为S，数量为n。合并任意两数，新总和是S加一，新数量是n减一。
因此，总和加数量保持不变。这证明了所有合法选法，不只是动画这一条。
最终只剩一枚，它的数值加一等于十四，所以必定是十三。
再看整数操作：从二开始，每次加六或减九，允许负数。除以三的余数始终是二。
二十一除以三余零，因此不可达。二十余二，还要另找路径：连加三次六就能到。
但如果只允许加三，从二到负一，余数虽然相同，数却只会增加，仍然到不了。
不变量不同，足以排除；不变量相同，只是通过筛选。证明可达，还需合法构造。
数字筹码为抽象数学对象；示范路径展示一种合法选法，普遍性依据任意a、b的一步推导。本页内容经自拟推导与独立整数核算，不援引未经查证的竞赛出处。