等量关系 · 方法讲解

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方程与消元法

把相等的量替换，把相同的量消去。

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01

相同的部分，为什么能一起减去？

同一家商店，同款笔记本和笔的单价固定。2本笔记本加3支笔，共21元；2本笔记本加1支笔，共15元。问每本、每支各多少钱？如果只问“一本加一支”，能不能更快？

相减消元 · 第1步 / 共4步

本本笔笔笔＝21元
本本笔＝15元

两行都含“两本加一支笔”。n表示每本的价，p表示每支的价，单位都是元。

对应左侧原题

笔3元，本6元

消去重复部分，只剩两支笔

21元与15元的差，是两支笔的价差。两边同时相减，等量关系才保持不变。

图块只表示物品及其固定单价，不按价格大小绘制，也不是实物天平。

02

学习准备：先说清字母代表什么

学习目标

  • 从题意中找到等量关系，定义未知量及单位。
  • 用代入替换或倍乘后加减，减少一种未知量。
  • 先看目标表达式，能直接求组合时就不绕求单价。
  • 用原条件检验结果，并识别条件重复或矛盾。

必要前置

整数与分数四则运算、乘法分配律、简单一元一次方程。例题中的n、p表示单价，不是物品数量；2n表示两本的总价。

“两本三支共21元”写成2n＋3p＝21；“一本比一支贵3元”写成n＝p＋3。先用中文复述，再写等式。

本页以S班深度编排：代入、倍乘加减、目标组合量。A/S是项目教学层次，不代表已核实的本地官方课纲。本页只讨论简单一次等量关系。

03

三种动作，共同依据是等量不变

1．代入（Substitution）：用相等的量替换

已知n＝p＋3，就可以把另一个等式中的每一个n替换为p＋3。因为替换前后价值相等，整个总价不变。

2n＋3p＝21 → 2(p＋3)＋3p＝21

括号不能省掉：两本各多3元，共多6元。所以2(p＋3)＝2p＋6，不能写成2p＋3。

2．加减消元（Elimination）：对齐同类量，再同时运算

如果A＝B、C＝D，那么A＋C＝B＋D，A−C＝B−D。两条条件同向相减时，同样的n或p部分抵消；数字一侧也必须按相同次序相减。

(2n＋3p)−(2n＋p)＝21−15 → 2p＝6

相同系数同号用相减；系数大小相同、符号相反则可相加。例如n＋p＝9、n−p＝3，相加得到2n＝12。系数尚未对齐，可以把整条等式的两边同时乘同一个非零数，再加减。只乘某一项会破坏等量。

消元后的单条等式不能替代所有原条件。2p＝6只告诉你p＝3；必须保留一条原条件求n，再回代两条原条件核查。把两条条件加成一条，通常会丢掉部分信息。

3．直接求组合量：先问目标长什么样

原题两式相加：4n＋4p＝36。目标是n＋p，而左边恰好是目标的4倍，因此不用先解n、p。

4(n＋p)＝36 → n＋p＝9（元）

更一般地，把已知等式倍乘、相加或相减，只要左侧恰好变成目标量的k倍，且k≠0，就把右侧结果除以k。这里k是你构造出的倍数；不是看到相同数量就随意相除。

04

完整例题：选择最短的等量路径

例题一 · 代入消元

一本比一支贵3元，买2本和3支共21元，求单价

同款物品单价固定，价格按元计。设一本n元、一支p元。

  1. 列关系：n＝p＋3，2n＋3p＝21。
  2. 代入：2(p＋3)＋3p＝21。
  3. 展开并合并：2p＋6＋3p＝21，即5p＝15，所以p＝3。
  4. 求另一量：n＝3＋3＝6。
  5. 回代：6−3＝3；2×6＋3×3＝21。两条原条件都满足。

答：每本笔记本6元，每支笔3元。第二步的括号保证“每一本都多3元”，而不是所有笔记本一共多3元。

例题二 · S班结构变式：先倍乘再相减

3本加2支共24元，1本加1支共9元，求单价

同款笔记本和笔单价固定。仍设每本n元、每支p元，两条原条件为3n＋2p＝24、n＋p＝9。

  1. 观察对齐目标：第一式有2p，第二式有p；把第二式整体乘2，得到2n＋2p＝18。
  2. 相减：(3n＋2p)−(2n＋2p)＝24−18，因此n＝6。
  3. 代回：p＝9−6＝3。
  4. 核对：3×6＋2×3＝24；6＋3＝9。

答：每本6元，每支3元。倍乘时n、p和右边的9都乘2；漏乘任何一项都不成立。

例题三 · S班目标组合量

2本加3支共21元，2本加1支共15元；买1本和1支要多少钱？

  1. 先看目标：要求n＋p，不一定要分别求n、p。
  2. 合并原条件：(2n＋3p)＋(2n＋p)＝21＋15，得到4n＋4p＝36。
  3. 识别完整组合：4n＋4p＝4(n＋p)，所以n＋p＝36÷4＝9。
  4. 独立核对：相减得2p＝6，所以p＝3、n＝6；6＋3＝9。

答：一本加一支共9元。不是“总共8件，所以36÷8”，因为笔记本与笔的单价不同；可分的是4份相同的“一本＋一支”。

05

迁移练习：先写目标，再展开解析

本页全部例题与练习均为自拟教学题。先列清未知量的含义与单位，选择代入、加减或组合路径。

练习一 · 单价与新组合

同款甲商品、乙商品单价固定。3件甲加2件乙共29元，1件甲加1件乙共11元。求甲、乙单价，以及买2件甲加3件乙的总价。

展开完整解析

设单价a元、b元。3a＋2b＝29，a＋b＝11。第二式整体乘2，得到2a＋2b＝22；第一式减它，得a＝29−22＝7。代回b＝11−7＝4。

目标2a＋3b＝2×7＋3×4＝26元。单价甲7元、乙4元。核对：3×7＋2×4＝29，7＋4＝11。

也可直接构造目标：5(a＋b)−(3a＋2b)＝2a＋3b，因此总价5×11−29＝26元。所有减法都对整条等式进行。

练习二 · 只求组合，允许分数单价

同款笔记本与笔单价固定。3本加1支共23元，1本加3支共17元。一本加一支共多少元？若继续求单价，答案一定是整数吗？

展开完整解析

设每本n元、每支p元。相加得4n＋4p＝40，所以n＋p＝10元。

两式相减得2n−2p＝6，所以n−p＝3。与n＋p＝10相加得2n＝13，因此n＝13/2元＝6.5元，p＝7/2元＝3.5元。

核对：3×(13/2)＋7/2＝23；13/2＋3×(7/2)＝17。单价可以不是整数，不能因为数字不是整数就自行取整。

边界追问 · 两句话一定够吗？

只知道n＋p＝9、2n＋2p＝18，能确定各自单价吗？若第二句改成2n＋2p＝19呢？

展开判定与反例

原来第二句只是第一句的2倍，没有新增约束。例如n＝2、p＝7与n＝4、p＝5都满足两句，所以单价不能唯一确定；但组合n＋p仍确定为9。

若改成19，两式矛盾：第一式乘2应为18，不可能同时等于19。遇到矛盾应检查题目或数据，不能硬算出一个答案。

06

易错与回顾

每次变形都问：为什么仍相等？
容易出错正确做法
把2(p＋3)写成2p＋3括号内每一项都乘2，得到2p＋6。
相减时数字一侧不减，或顺序反了两侧按同一个“第一式减第二式”执行。
倍乘只乘一个未知量整条等式两边、每一项同时乘。
合成一条等式后扔掉原条件组合量可由新式求；单价仍需原条件。
买8件就把总价除以8不同物品单价不同；先找相同组合。
两条等式就一定有唯一答案可能条件重复，也可能矛盾；代回并核查。

解题顺序：定未知量与单位 → 找等量关系 → 看目标 → 替换或对齐加减 → 求出所需量 → 回代原条件。先理解物品组合，再用字母压缩书写。

07

逐章回看

文字稿默认展开。点击章节标题，定位到视频中的对应讲解。

两本笔记本加三支笔，共二十一元；两本加一支笔，共十五元。

两行减去相同的两本和一支笔，剩两支笔，对应六元。

每支笔三元。代回第二个条件，两本十二元，每本六元。

如果另给条件：一本比一支贵三元，也能用代入法。

把每本换成一支笔加三元。两本三笔，变成五支笔加六元。

二十一减六得十五，五支笔十五元，所以每支三元。

回到原来两行。只问一本加一支时，两行相加，四本四支共三十六元。

把四本和四支，分成四份相同组合。每份一本加一支，共九元。

先看目标，再选代入或加减。单价和单位要一致，结果还要代回原条件检查。

08

学习与图示说明

图块表示同类物品的固定单价，不按价钱比例绘制；物品排列不表示长度、重量或面积关系。正文中的代入题与原始相减题条件分别列明。

等式性质参考OpenStax：代入、加减消元。本页例题和练习为自拟，不代表引用教材原题；只选取简单一次关系，不扩展为一般方程组课程。

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