立体几何与空间模型 · 拓展
先定轴，再找高与半径；同一块平面图形，换轴未必等体积。
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矩形边长为3 cm与6 cm，或取两条直角边为3 cm与6 cm的直角三角形。固定其中一条边作轴，让整个图形区域旋转360°。最终是什么立体，体积是多少？
第1步 / 共4步：固定轴，标高和半径
矩形绕6 cm边，h＝6 cm，r＝3 cm；旋转完整一周形成圆柱，体积54π cm³。
当前演示 · 矩形绕6 cm边
54πcm³
V＝π×3²×6＝54π cm³。
右侧为当前模式转满一周后的最终体积，不是中途90°时的体积。绿色区域只提示生成图形，金色线表示轴。
图形为投影示意；分面不是真实切片，动画不能证明圆锥体积定理。
先会：圆的半径与直径、面积πr²，圆柱体积πr²h，圆锥体积πr²h÷3，以及比与分数。圆锥体积定理在本页作为已学结论引用；若尚未学过，应先学习圆柱与圆锥。
学完能做：从轴读取高与半径；识别圆柱或圆锥；解释换轴后体积为何改变；将规则圆柱沿垂直轴的平面分割计算；核对同底等高条件。
本页为S班拓展，A/S为项目编排，非官方课纲，不声称六上必学。只研究矩形绕边、直角三角形绕直角边旋转一周；绕斜边、外部轴、复杂曲线及圆台不在本页范围。
矩形的轴上边长为h，垂直轴的另一边长为r。在轴的每一个高度，矩形都延伸到距离轴r的位置。该水平线段旋转一周扫出半径r的圆盘。沿高叠起的圆盘大小相同，因此形成底面半径r、高h的直圆柱。
固定一条直角边作轴，其长度h就是高；另一条直角边长r成为底面半径。斜边上的点转出圆周，越靠近轴上顶点，到轴的距离越小，所以横截圆盘逐渐缩小，最后收束到顶点，形成直圆锥。斜边扫成侧面，它不是圆锥的高。
V柱＝πr²h
r为半径，h为高，且r、h为正数。底面积乘高，单位为立方长度单位。
V锥＝πr²h ÷ 3
只有同底等高时，圆锥体积才是圆柱的1/3。此结论不是由“看起来尖一些”推出。
矩形两边为a、b。绕a边时h＝a、r＝b，体积Vₐ＝πb²a；绕b边时h＝b、r＝a，体积Vᵦ＝πa²b。因此：
Vₐ : Vᵦ＝b : a（a、b均大于0）
三角形绕两条直角边的比较也得到b:a，因为两式中的1/3可以约去。只有a＝b时两次体积相等。面积ab（或ab÷2）相同，不代表旋转后的体积相同。
半径r、高h₁＋h₂的圆柱，沿垂直轴的平面切开，两块内部不重叠，合起来恰好覆盖原立体。两块半径相同，高分别为h₁、h₂，所以πr²h₁＋πr²h₂＝πr²(h₁＋h₂)。这是体积可加性，不是表面积可加性：切口会增加表面。
以下例题与练习均为本页自拟；尺寸给定，示意图不供测量。
例题一 · 换轴比较
矩形长6 cm、宽3 cm。分别绕长边、宽边所在直线旋转一周，求两体积及“绕宽边 : 绕长边”的体积比。
核查：半径变为2倍，高变为1/2，体积倍率为2²×1/2＝2。半径不是直径；若把3 cm当直径，会把半径错误地再除以2。
例题二 · 辨形后作差
直角三角形两条直角边为3 cm和4 cm，绕4 cm直角边旋转一周得到圆锥。另有底面半径3 cm、高4 cm的实心圆柱。从圆柱内挖去该圆锥，圆锥底面与圆柱下底重合、顶点在圆柱上底圆心。求圆锥体积和剩余体积。
核查：两者确实同底等高。这个直角三角形的面积为3 cm × 4 cm矩形的一半，并不意味着旋转后体积也是一半；圆锥的不同高度处半径不同，需使用体积定理，而非平面面积比例。
3 cm × 6 cm的矩形绕6 cm边旋转成圆柱。在离底面2 cm处沿垂直轴的平面切开，求两块体积及体积比，核查体积总和。
原半径3 cm，高6 cm。切开后半径仍为3 cm，高分别为2 cm、6−2＝4 cm。
下块V₁＝π×3²×2＝18π cm³；上块V₂＝π×3²×4＝36π cm³。下块:上块＝18:36＝1:2。
总和18π＋36π＝54π cm³，与π×3²×6一致。只有同半径的圆柱才可在本题按高度比得到体积比；不要把这个结论直接套到圆锥的横切部分。
一个直角三角形的两条直角边为4 cm、6 cm。分别绕6 cm边和4 cm边旋转一周。求两圆锥体积，以及“绕6 cm边 : 绕4 cm边”的体积比。
绕6 cm边：h＝6 cm、r＝4 cm，V₆＝π×4²×6÷3＝32π cm³。
绕4 cm边：h＝4 cm、r＝6 cm，V₄＝π×6²×4÷3＝48π cm³。V₆:V₄＝32:48＝2:3。
独立核查：两式都有π、1/3与4×6，约去后剩下半径的比4:6＝2:3。两锥不同底也不同高，不能仅因它们来自同一三角形就判断体积相同。
| 容易误判 | 核对办法 |
|---|---|
| 轴上边是半径 | 轴上边是高，垂直距离才决定半径。 |
| 另一条边是底面直径 | 绕边旋转时另一边长等于半径，直径为其2倍。 |
| 三角形的斜边是高 | 高沿旋转轴；只绕直角边，斜边生成侧面。 |
| 平面面积减半，体积就减半 | 圆锥与同底等高圆柱为1:3，不能套平面面积比。 |
| 把圆柱横切规律套给圆锥 | 圆锥的半径随高度变化，切出的上部也不与原锥同半径。 |
| 把绘图分面当作证明 | 网格只近似显示曲面；公式依据已学体积定理。 |
解题顺序：确认图形和轴 → 沿轴读高 → 读垂直距离作半径 → 确认转满一周 → 辨形后算体积 → 分割或作差 → 核对单位与同底等高条件。全页π保留为符号，答案均为精确值。
文字稿默认可见。点击章节标题，可定位到视频中的对应讲解。
先看一个三厘米乘六厘米的矩形。绕六厘米的边旋转，轴上边就是高。
离轴最远的距离是三厘米，它成为底面半径，不能当成直径。
让整个矩形区域旋转一周。每一层扫出同样大的圆盘，得到圆柱。
半径三，高六。圆柱体积是圆周率乘三的平方，再乘六，等于五十四派立方厘米。
现在换成三厘米的边作轴。高变成三，半径变成六。
体积变为一百零八派，是原来的两倍。半径要平方，所以换轴不保证体积相等。
把矩形换成两条直角边分别为三和六厘米的直角三角形，仍绕六厘米的直角边旋转。
靠近顶点的圆盘更小，扫出的立体是圆锥。半径三，高六。
引用已学的圆锥体积定理，同底等高的圆锥是圆柱的三分之一，因此体积是十八派。动画本身不是证明。
回到半径三、高六的圆柱。在离底面二厘米处，沿垂直轴的平面切开。
两块半径都为三，高分别是二和四。体积十八派加三十六派，仍是五十四派。
先定轴，再找高与半径，最后辨形和分割。绕斜边或外部轴的复杂情形，本页不讨论。