例题一｜保证某种颜色至少3个
红5个、蓝4个、绿3个，不放回盲摸，至少摸几个才能保证某种颜色至少3个？
- 否定目标：没有任何颜色达到3个，即红、蓝、绿都最多2个。
- 求上限：未达标总数≤2+2+2=6。三种库存都不少于2，这个上限没有违背库存。
- 构造：(红,蓝,绿)=(2,2,2)合法，摸6个仍然没有3个同色。因此6个不足。
- 推出保证：摸7个若还失败，总数又必须≤6，矛盾。因此最少7个。这里的7并不保证指定的红色有3个。
逻辑、策略与经典模型
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最不利原则
先找“还不成功”能撑到的最大数量，验证构造，再加一。
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01
六个可能失败，为什么七个必成功？
袋中红球5个、蓝球4个、绿球3个，共12个。每次摸1个，摸后不放回，不看颜色也不能挑选。分别求保证“某种颜色至少3个”和“红至少3个且蓝至少2个”的最少摸球数。
已摸0个：红0、蓝0、绿0。按下一步观察一种尽量拖延达标的顺序。
对应左侧红5、蓝4、绿3的摸球演示
0个已摸
任一颜色达到3个
当前未达标。要尽量拖延，就先让每种颜色都停在2个。
未达标最多6个；保证数为7个。
这里只演示一种合法最坏顺序。保证性的依据是右侧上限和下文证明，不是动画只试过这一条顺序。
02
学习准备：存在与保证是两种问题
学习目标
- 把“至少取多少才能保证”翻译成所有合法结果都满足。
- 写出准确的未达标条件，区分“或”与“且”。
- 同时给出失败上限与能达到上限的构造，证明答案最小。
- 处理有限库存、指定颜色与多个条件。
必要前置
会整数加法、比较与简单分类讨论；理解“至少”包含等于，“最多”给出上界。“保证”要求无论合法摸取顺序怎样都成立；不是问概率大不大，也不是问最快何时可能成功。
本题摸3个就可能全红，但不能保证全红；5个红球的库存不代表优先摸到红球。
S班为本项目编排，侧重多条件、容量限制与锐性证明；不声称是当地官方课程。本页题目均为自拟。
03
为什么“最大未达标数 + 1”成立？
把达标目标记为 P。固定有限库存，并要求 P 对继续取物品具有保持性：已经达到“至少几个”，再取不会失去资格。令 M 是所有合法未达标数量组中最大的总数。
- 必要性：给出恰好取 M 个仍未达标的合法构造。于是 M 个不能保证。把这条摸取顺序截短，较少数量也不能保证。
- 充分性：证明任何未达标结果都至多 M 个。若取了 M+1 个却还未达标，就与这个上限矛盾。
- 检查存在：目标必须能实现，且 M+1 不超过总库存。若全部取完仍未达标，不存在保证数，不能写一个摸不出来的答案。
最少保证数 = 最大合法未达标数 M + 1
上界与构造缺一不可。一个随意的失败例子只能说明“取这些还不够”，不能证明已经找到了最大值。
目标是“至少一项成功”
失败就必须所有项都失败。若共有 k 种颜色，第 i 种库存 cᵢ，目标为某色至少 r 个，则每色最多 min(cᵢ,r−1) 个。
M = Σ min(cᵢ, r−1)
cᵢ 为非负整数，r 为正整数；颜色之间无额外约束，且至少一种库存≥r，才能用 M+1。各色同时取到这个上限可实现。
目标是“所有指定项成功”
失败只需至少一项失败。分别让某一项不足，其余颜色尽量全取，再比较各分支的最大值，不能把分支相加。
M = 各失败分支上限的最大值
本页讨论指定颜色的数量下限；不同失败分支可能重叠，但求最大值不要求它们互斥。仍要给出库存内的构造。
04
两道完整例题
例题二｜同时保证红至少3个、蓝至少2个
仍是红5、蓝4、绿3，不放回盲摸。至少摸几个，才能保证红球至少3个，而且蓝球至少2个？
- 准确否定：失败为“红≤2或蓝≤1”。不能误写成两个条件同时不足。
- 红不足分支：红最多2个，蓝绿可以全取，最多2+4+3=9个。构造(2,4,3)合法。
- 蓝不足分支：蓝最多1个，红绿可以全取，最多5+1+3=9个。构造(5,1,3)合法。
- 合并：只要失败，必落在至少一个分支中，所以最多9个。9个时上述任一构造都失败；10个时两个分支都被排除，最少10个。
- 库存检查：总共12个，目标可实现，10个可取。作为核查，取10个时红至少10−(4+3)=3个，蓝至少10−(5+3)=2个。
若把题目改为“红至少3个或蓝至少2个”，失败反而要求红≤2且蓝≤1，绿可取3个，M=2+1+3=6，保证数变成7个。一个连接词能改变整个最坏构造。
05
迁移练习
练习一｜库存不足时不能机械乘法
袋中红2个、蓝5个、绿6个，不放回盲摸。至少摸几个，保证某种颜色至少4个？写出未达标最大构造。
查看完整解析
未达标时各色至多3个，但红色只有2个，故 M=2+3+3=8。构造(2,3,3)可实现，8个仍失败；取9个时若每色都不足4个，总数至多8，矛盾。答案9个。直接算3×3+1=10虽然足够，却不是最少；红球永远不可能达到4个，但蓝绿能达到，目标仍可实现。
练习二｜两个指定目标同时达到
红6个、蓝5个、绿2个，不放回盲摸。至少摸几个，才能保证红至少4个且蓝至少3个？
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失败是红≤3或蓝≤2。红不足分支最多3+5+2=10，构造(3,5,2)合法；蓝不足分支最多6+2+2=10，构造(6,2,2)合法。最大未达标数为10，故最少11个。取11个时红至少11−(5+2)=4，蓝至少11−(6+2)=3，也可直接验证。库存13个，11个可取。
06
边界、反例与回顾
- “某色”不能替换为“指定红色”。红5蓝4绿3时，(0,4,3)取7个，已出现3个同色，却没有红。若指定红至少3，最大失败数2+4+3=9，保证数10。
- 目标不可实现时没有保证数。只有红2蓝2绿2，却要求某色至少3个，取完6个也失败。机械“6+1=7”超过库存，不能作为答案。
- “恰好”未必有保持性。某次恰好3个红，继续取可能变成4个。不能把本文“至少”的论证直接改成“恰好”而不重新分析。
- 一次失败不足以证明最坏。例题二(2,2,2)取6个也失败，但真正的最大失败可到9个。
- 本页限不放回。若放回且不限制顺序，可以一直摸到绿而永远达不到红3且蓝2；库存限制与失败上限要重建。
解题顺序：写目标 → 写失败条件 → 在库存内求最大数 → 构造取到它 → 加一并核查可取。对“至少”目标，证明上限保证正确，构造保证最少。
07
逐章回看
文字稿默认可读。点击标题可定位到视频中的对应讲解。
袋中有红球五个、蓝球四个、绿球三个，不放回摸取。至少摸几个，才能保证某种颜色有三个？
先反过来想：怎样摸得尽量多，却还没有三颗同色球？每种颜色最多摸两个。
红二、蓝二、绿二，一共六个。这种未达标情况真的可以摸到，所以六个还不能保证。
第七个球无论是什么颜色，都会使某种颜色达到三个。未达标最多六个，再加一，答案是七个。
如果目标改成红球至少三个，而且蓝球至少两个，就不能照搬七。失败有两种可能。
第一种，红球最多两个，蓝球和绿球可以全部摸出；第二种，蓝球最多一个，其余也可以全摸出。
两个失败分支，最多都是九个。比如红二、蓝四、绿三，仍然缺少第三个红球。
摸到十个，红球不足或蓝球不足都不可能，因此两个条件同时满足。保证数是十个。
记住：准确写出未达标条件，求最大数量，给出可实现构造，最后再加一。还要检查目标本身能够实现。
08
学习与图示说明
球上的字标明颜色，不只依靠颜色区分。图示表示取出数量，不模拟概率、球的体积或手的运动；三个计数区不表示三只可选择的袋子，实际球在同一袋中盲摸。