逻辑、策略与经典模型
先证明所有方案的界限，再构造一个恰好达到界限的方案。
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5×5方格棋盘，每格至多放1枚棋子，共边的两格不能同时放；对角相邻允许。最多能放几枚？试出13枚只说明“至少能放13枚”，还不能排除14枚。
第1步 / 共6步：明确限制
只禁止共边，不禁止对角相邻。目标是证明最大值。
对应左侧完整5×5棋盘
待证明
比较几个方案只是探索。要同时说明：任何合法方案至多多少，以及某个方案确实达到多少。
金色框表示共边两格的配对。绿色圆片表示实际放置的棋子。配对不是额外摆放规则。
整数与除法余数，平均数，简单不等式，以及棋盘中共边与对角相邻的区别。会用“任意”“至少”“至多”准确表达结论。
本页S班是项目教学深度编排，属于综合方法；不代表某机构或某学期的官方必学范围。
可行方案是满足题目全部条件的方案。把每个方案要比较的数量记为 F，例如棋子总数、最大一盒的数量。最大值是可行方案中实际出现的最大 F；最小值是实际出现的最小 F。
所有方案 F ≤ M
存在合法方案 F = M
上界排除更大者；构造证明该数能达到。只完成一条都不足够。
所有方案 F ≥ m
存在合法方案 F = m
下界排除更小者；构造证明该数能达到。注意不等号的方向。
若能把全部对象分成互不重叠、没有遗漏的组，第 i 组的贡献至多 uᵢ，则总贡献至多 u₁＋u₂＋…＋uₖ。证明每组容量时，可以暂时忽略跨组限制：忽略限制只会扩大可选范围，因此仍得到安全上界；但这可能使界不够紧。
棋盘沿蛇形路径编号：第一行从左到右，第二行从右到左，以此交替。依次配(第1格,第2格)、(第3格,第4格)，直到(第23格,第24格)，第25格单独留下。路径相邻格都共边，因此每对至多放1枚。12对和余格覆盖25格，所以总数≤13。
N个相同、不可拆分的小球放进k个盒子，令最大盒有 M 个。因为每盒都≤M，所以 N≤kM，故 M≥N/k。如果 M 是整数，还要取不小于 N/k 的最小整数，记作 ⌈N/k⌉（向上取整）。
若 N=qk+r，0≤r<k，令r盒各放q+1个，其余k−r盒各放q个，就达到该下界。r=0时每盒都是q个。若题目还规定每盒非空，必须有N≥k；有容量上限、不同球的重量或其他限制时，须重新核查构造。
以下例题、练习及反例均为本页自拟教学题，采用精确整数与分数核算。
例题一 · 用局部容量证明上界
每格至多放1枚，共边的两格不能同时放，对角相邻允许。
只说黑格13、白格12并不足以证明“任意方案≤13”，因为合法方案不一定全放在同一种颜色里。这里的严格上界来自相邻配对，染色用于构造与合法性核查。
例题二 · 结构变式：让“最多的一盒”尽量少
小球不可拆分，各盒容量不限。求最大一盒的数量最少是多少。
“平均每盒53/6个”是下界的线索，不能作为实际分配，因为小球不可拆。整数修正与构造必须一起写出。
4×6棋盘，每格至多1枚棋子，共边两格不能同时放，对角相邻允许。最多能放几枚？要求写出界和构造。
上界：每行把第1、2列、第3、4列、第5、6列各配成一对。4行共12对，每对共边，至多放1枚，故总数≤12。
构造：第一、三行放第1、3、5列；第二、四行放第2、4、6列。每行3枚，共4×3=12枚。所有放子格行列和为偶数，共边格奇偶不同，构造合法。因此最大值12枚。
没有余格，所以不能照搬5×5的“12＋1”。
37个相同、不可拆分的小球放进5个盒子，每盒至少1个，容量不限。最大一盒的数量最少是多少？给出达到方案。
下界：若每盒至多7个，总数至多5×7=35，不够37。因此最大盒至少8个。
构造：37=5×7＋2，分成(8,8,7,7,7)，总数2×8＋3×7=37，各盒非空，最大盒为8。故所求最小值8个。
37/5只是下界；真正答案需满足整数条件。两个8不是固定在指定盒子里，换盒仍是合法达到方案。
三件物品各重4千克，整件分进两个盒子，不许拆分，每盒至少一件。要让较重盒尽量轻。总重12千克，平均给出下界6千克，但没有任何盒子能装成6千克：一盒的重量只能是4或8千克。
三件进两盒，至少一盒有两件，否则最多放下两件。于是较重盒至少8千克。构造两件一盒、一件一盒，重量为(8,4)，达到8。所以最小值是8千克。没有达到6，说明应加强下界。
若实数x满足0<x<1，1确实是上界，却不属于允许范围。任取允许的x，数(x+1)/2仍小于1且比x大，所以总能找到更大者；不存在最大值。有限个非空可行方案一定能比较出最值；无限范围还要检查界能否取到。
5×5棋盘若改成“共边或共顶点都不能同时放”，隔格构造中的(第1行第1列)与(第2行第2列)共顶点，已经不合法。本页13枚结论只适用于禁止共边。条件变化必须重新证明，不能沿用旧构造。
| 不完整的说法 | 缺少什么 |
|---|---|
| 我摆出了13枚，所以最多13枚 | 还缺对全部合法方案的上界证明。 |
| 证明至多13枚，所以答案13枚 | 还缺达到13枚的合法构造。 |
| 每组放满即可，不管组外 | 跨组约束可能冲突，构造须核查全部条件。 |
| 平均数就是实际最小值 | 整数、不可拆分和其他条件可能使平均数无法达到。 |
四步回顾：明确可行方案与目标 → 推出任何方案都满足的界 → 构造并检查所有限制 → 界与构造相等时宣布最值。若不相等，说明还有工作。
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五乘五棋盘，每格至多放一枚棋子，共边的两格不能同时放。最多能放几枚？
先沿蛇形路线经过二十五格，再把相邻的两格配成一组。
得到十二组相邻格，还剩一格。每组至多放一枚，否则就会共边。
所以任何合法方案，都不能超过十二加一，也就是十三枚。这只是上界，还要证明能达到。
现在隔格摆子：第一行放三枚，第二行放两枚，后面交替。
横着没有共边，竖着也错开。对角相邻允许，因此一共放了三加二加三加二加三，十三枚。
任何方案至多十三枚，又确实能放十三枚，所以最大值就是十三。
求最小值时方向相反：先证任何方案都不少于某个数，再构造恰好达到它的方案。