例题一｜8×8棋盘去掉同色对角
题意：去掉(1,1)、(8,8)，是否可用1×2骨牌沿格线覆盖其余区域？允许横放、竖放，不重叠、不越界。
- 原棋盘每行深浅各4格，总数各8×4=32格。
- 两个被移除的格子行列和分别为2、16，都是偶数，故都是深格。
- 剩余深格32−2=30，浅格32格；面积62格，若可铺须用62÷2=31块。
- 31块骨牌应覆盖深浅各31格，与30、32矛盾。
答案：不可能。单有面积偶数还不够；关键是每块骨牌的配色不能变。
逻辑与策略 · 染色模型
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染色与覆盖论证
把“怎么铺”换成“每块必须盖哪些颜色”，用总数量的矛盾否定覆盖。
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01
只少两格，为什么铺不了？
有一张8×8单位方格棋盘，去掉左上角(1,1)与右下角(8,8)。能否用31块1×2骨牌盖住其余62格？骨牌可横放或竖放，但必须沿格线，不重叠、不越界、不留空格。
有限步演示 · 检查每块砖的限制
步骤1/5：先看完整8×8棋盘。深浅各32格。
8×8缺对角 · 骨牌
深 32浅 32
这两个数对应左侧完整棋盘；接下来标出骨牌与移除的格子。
格内文字或数字同时标识颜色。模式切换会回到第一步，末步停止；重置可从头演示。
02
学习准备与适用条件
目标：能自行设计染色，说明一块砖的颜色结构，再把局部限制累加成整体限制。前置：奇偶性、余数、单位方格面积，以及“假设成立 → 推出矛盾”的反证思路。
覆盖指所有目标格恰好被盖一次。必须先写清砖的形状、允许方向、能否翻转、是否沿格线。条件改变后，要重新检查每块砖的颜色数。
本页按项目S班深度编排，非官方年级课纲。例题与练习为自拟教学题；研究的是格点离散覆盖，不讨论任意角度放置或切割砖。
03
为什么颜色能形成限制？
双色：每块相同，累加仍然相同
将行、列从1开始编号。r+c为偶数染深色，奇数染浅色。相邻格的r+c恰好相差1，因此颜色相反。任何骨牌盖两格，所以必定是“一深一浅”。
若铺了k块骨牌，则深格数D=k，浅格数L=k，因此D−L=0。
这是对所有可能铺法的限制。无需枚举骨牌怎么摆。区域若D≠L，就不可能被这些骨牌完整覆盖。
三色：让直三格砖必定各色一格
三色染色单独将行、列从0开始编号（题目坐标仍从1开始）。把r+c除以3的余数0、1、2作为三种颜色的编号。横向或纵向连续三格的编号依次轮换，恰好各出现一次。注意：不是任意三格砖都成立，例如L形三格砖可能有两个相同余数。
若用k块直三格砖铺满，则N₀=N₁=N₂=k。
更一般地，若每块允许的砖在颜色j上固定覆盖aⱼ格，k块砖就必须覆盖k×aⱼ格。若允许多种颜色结构，要分析它们能否组合出目标数量，不能直接要求各色相等。
- 明确区域与允许的砖。
- 选择能约束每块砖的染色。
- 证明每块砖无论如何摆都符合限制。
- 统计区域各色数量。
- 数量矛盾则否定；没有矛盾则继续构造或寻找更强限制。
04
两道完整例题
例题二｜面积是3的倍数，仍铺不满
题意：4×4棋盘去掉第一行第二列(1,2)，其余15格能否用5块1×3直三格砖铺满？砖只可沿格线横放或竖放，不能切割、重叠或越界。
按从0开始的行列编号之和除以3取余，四行颜色编号依次为：0 1 2 0、1 2 0 1、2 0 1 2、0 1 2 0。原有N₀=6、N₁=5、N₂=5。题目中的(1,2)对应0起始编号(0,1)，颜色为1；移除后剩余N₀=6、N₁=4、N₂=5。
5块直三格砖每色必须各覆盖5格，但实际是6、4、5，矛盾。答案：不可能。面积15可以被3整除，仅通过了面积条件。
05
迁移练习
练习一｜去掉异色格，就一定可铺吗？
6×6棋盘去掉相邻两格(1,1)、(1,2)，其余34格能否用1×2骨牌横竖铺满？请给出铺法，而非只检查颜色。
查看完整解析
原来深浅各18格，去掉一深一浅，剩余各17格，颜色条件符合，但这一步还没有证明能铺。
给出构造：第一行剩下第3至第6列，用两块横骨牌覆盖(1,3)-(1,4)、(1,5)-(1,6)。其余五行各用三块横骨牌，分别覆盖第1-2、3-4、5-6列。总数2+5×3=17块，不重叠、无遗漏，因此本题可铺。
练习二｜5×5缺角与直三格砖
5×5棋盘去掉(1,1)，剩余24格能否用8块1×3直三格砖沿格线横竖铺满？使用从0开始的行列编号之和除以3的余数染色。
查看完整解析
逐行统计，原棋盘(N₀,N₁,N₂)=(8,9,8)。去掉题目坐标(1,1)，即0起始编号(0,0)这一余数0格，变为(7,9,8)，总数24。每块直三格砖恰好各色一格，8块应为(8,8,8)，与实际矛盾，故不可能。
06
反例、易错与回顾
两色相等仍可能铺不了
只保留下列8格：(1,2)、(2,1)、(2,2)、(3,2)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(5,3)。其余格不存在。这个区域连通，深浅各4格，但(1,2)与(2,1)在区域内都只有一个邻格(2,2)。要覆盖它们，各自的骨牌都必须占据(2,2)，必然重叠。因此无法用4块骨牌铺满。
必要条件：可铺 ⇒ 颜色数量符合限制。不能反推“数量符合 ⇒ 可铺”。证明可铺时，可直接展示一个完整铺法并核对覆盖条件。
- 不能只数面积。面积整除只能确定候选砖数。
- 不能只展示一种摆法来证明所有摆法都不行；必须证明每块砖的共同限制。
- 不能见到染色就要求各色一样多；目标配比由每块砖的结构决定。
- 不能用一种无矛盾的染色断定可铺；它可能还不够强。
- 允许L形砖、斜放、切割或重叠时，本页的每块颜色结构须重新分析。
回顾：区域的颜色总量，必须能由合法砖的颜色结构累加得到。用矛盾否定，用构造肯定。
07
逐章回看
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八乘八棋盘去掉左上角和右下角，能用一乘二骨牌铺满吗？先给相邻格染成深浅两色。
每块骨牌只能沿格线覆盖相邻两格。无论横放还是竖放，都恰好盖住一个深格和一个浅格。
原来两色各三十二格。去掉的两个对角格都是深色，剩下深色三十格，浅色三十二格。
六十二格需要三十一块骨牌。可三十一块只能盖住深浅各三十一格，与剩余数量矛盾，所以不可能。
换成直三格砖，可以用三种颜色。行列从零编号，让每格的颜色由行号加列号除以三的余数决定。
向右或向下走一格，颜色依次轮换。因此任意横放或竖放的直三格砖，都恰好覆盖三色各一格。
四乘四棋盘去掉第一行第二列后，三色分别剩六、四、五格。五块砖却需要每色五格，因此也铺不满。
染色论证的关键是每块覆盖的颜色数量。数量矛盾能证明不可能；数量符合，还需要具体铺法或进一步证明。