立体几何 · S班
逐方向判断外侧面，按染色面数分类，最后用总体积和表面积检查。
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把一个棱长为4的正方体的六个外表面全部染色，待颜色固定后，沿单位网格切成64个棱长为1的小正方体。分别有多少块恰好3面、2面、1面、0面染色？切开后不再染色。
当前题目：4×4×4，六面先染后切，共64块。
图把每一层平摊为网格。数字是小块原有染色面数；间隙与展开不产生新染色。换题会重置步骤。
3面8块，2面24块，1面24块，0面8块。合计64块。
逐方向判断：位于该方向的端点，就接触一个原外表面。
理解正方体有6个面、12条棱、8个顶点；长方体体积为abc、表面积为2(ab+ac+bc)。会用乘法原理数独立选择，会读三方向的网格位置。
S班是本项目的教学深度编排，不代表当地机构的官方课纲。先掌握常规模型，再处理薄层边界。
固定条件：长方体无孔洞，六个外表面全部染色，然后沿相互垂直的单位网格切成相同小正方体。a、b、c表示三个方向的小块层数，均为正整数，原长方体边长分别为a、b、c个单位。
只染部分面、切开后再染、大小不一、内部有孔洞或求连在一起的块组时，都需要重新建模。本页计数的是小方块个数，不是染色小正方形的个数。
先假设 a、b、c 都至少为3。每个方向有2个端点位置，以及“层数减2”个中间位置。每个端点方向贡献1个染色面，中间方向贡献0个。
用坐标(x,y,z)记录小块，范围分别为1到a、1到b、1到c。比如x=1接触左外面，x=a接触右外面。由于a≥3，两种情况不会发生在同一小块上；y、z方向同理。小块的染色面数，恰好等于它有几个方向选了端点。
| 类别 | 选择方式与计数 |
|---|---|
| 3面：顶点 | N₃=2×2×2=8 |
| 2面：棱中部 | N₂=4[(a−2)+(b−2)+(c−2)] |
| 1面：面内部 | N₁=2[(a−2)(b−2)+(a−2)(c−2)+(b−2)(c−2)] |
| 0面：立体内部 | N₀=(a−2)(b−2)(c−2) |
每个小块有唯一坐标，也有唯一的“哪些方向在端点”模式。所有模式按端点方向数分成0、1、2、3四类，所以不重不漏。图帮助观察，坐标分类才是证明。
N₀+N₁+N₂+N₃=abc
N₁+2N₂+3N₃=2(ab+ac+bc)
第一式数小方块：每块只出现一次。第二式数原来染色的单位小面：k面染色的每块贡献k个小面；从大长方体外部数，恰好是表面积。第二式不是小方块总数。若存在4面、5面、6面类，要把4N₄、5N₅、6N₆也加进去。
棱长4的正方体六个外表面全染色，再切成单位小正方体。分别求恰好0、1、2、3面染色，以及至少2面染色的小块个数。
答案：恰好0、1、2、3面的块数依次为8、24、24、8；至少2面为32块。
长、宽、高分别为3、4、5个单位的长方体，六个外表面全部染色，再沿单位网格切成60个单位小正方体。分别求各类块数。
答案：恰好0、1、2、3面的块数依次为6、22、24、8。
把3×4×1长方体六面全染后切成12块。厚度方向只有一个位置，它同时位于最下和最上，所以单是厚度方向就贡献2个染色面。平面四角再各接触两个侧面，故为4面染色，共4块。平面边缘非角有2(3−2)+2(4−2)=6块，每块3面染色。平面内部(3−2)(4−2)=2块，每块2面染色。
因此恰好2、3、4面分别为2、6、4块；总数12，染色小面2×2+3×6+4×4=38=2×(12+3+4)。若机械套N₀=(3−2)(4−2)(1−2)，竟得到−2，直接违反块数非负。
两层彼此不同，但都在外侧，各贡献1个厚度方向染色面，没有厚度中间层。每层四角为3面：2×4=8块；每层边缘非角为2面：2×[2(3−2)+2(4−2)]=12块；每层平面内部为1面：2×(3−2)(4−2)=4块；0面为0块。
两层时，常规四类代数式恰好仍可得到正确结果，因为“中间位置数”变成0，但必须先解释为什么。不能声称此时仍有立体内部，也不能把两层当成一层去数两个相对面。
对某方向：层数n≥2时，端点位置各贡献1面，中间贡献0面；n=1时，唯一位置贡献2面。把三个方向贡献相加，就得到每块的面数。这也处理1×1×1：只有1块，它有6面染色。多个方向仅一层时，可能出现5面或6面类，四类表格不再完整。
棱长5的正方体六面先染色，再切成125个单位小正方体。求恰好0、1、2、3面及至少2面染色的块数，并做两种检查。
中间层数5−2=3。N₀=3³=27，N₁=6×3²=54，N₂=12×3=36，N₃=8。至少2面为36+8=44块。块数和27+54+36+8=125。染色小面54+2×36+3×8=150=6×5²。
3×4×2长方体六面全染色，再切成单位小正方体。至少2面染色的有多少块？是否存在0面染色块？
两层各贡献一个厚度外面。每层平面四角有3面，共8块；每层边缘非角有2面，共12块；每层平面内部有1面，共4块。所以至少2面为8+12=20块，0面为0块。块数和24=3×4×2；染色小面3×8+2×12+4=52=2×(12+6+8)。
解题顺序：确认染色与切割条件 → 写三方向层数 → 检查是否有一层/两层 → 逐方向确定分类 → 求恰好或至少 → 用体积和表面积复核。
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一个4乘4乘4的正方体，六个外表面全染色，再切成64个单位小方块。按每块染色面数分类。
每个方向都选端点，三个方向各有两个选择，所以三面染色的角块有八个。
两面染色在棱中部，不含顶点。十二条棱，每条有四减二个，共二十四块。
一面染色在各面内部。每面排成二乘二，六个面，共二十四块。
三个方向都去掉两端，内部是二乘二乘二，共八块。四类相加，恰好六十四。
改成三乘四乘五，仍先六面染色。棱中部按三个方向分组，四乘以一、二、三的和，共二十四块。
三乘四乘一只有一层。上下两个相对面都染色，四个角块各有四面染色，不能照搬三面角块的结论。
三乘四乘二没有中间层。逐方向判断，三面八块，两面十二块，一面四块，没有零面小块。
最后检查两件事：各类块数之和等于总体积，各类染色面数之和等于原物体表面积。