例题一 · 固定单价，正比例与非整数倍
买4米布付72元，买7.5米应付多少元？
同一种布，按米计价，单价不变，无折扣和额外费用，允许按所需长度裁剪。
- 写关系：总价＝单价×长度。单价一定，总价÷长度一定，所以总价与长度成正比例。
- 求固定比值：72÷4＝18元/米。
- 求新总价：18×7.5＝18×15/2＝135元。
- 按倍数核对：长度比为7.5÷4＝15/8，总价72×15/8＝135；135÷7.5仍等于18。
长度和总价可以是非整数。只要按同一固定单价计费，倍数比较仍成立。
分数比与应用题 · 方法讲解
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正反比例解应用题
先找固定量，再用比值或乘积判断。
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01
同一批零件，工作格怎样重排？
4台同样的机器连续工作6小时，生产120个零件。各台每小时产量相同且不变，工作量可相加，无准备时间、停机或配合损耗。若改用6台生产240个零件，需要几小时？
每格＝1台机器工作1小时；工作格数量代表机器小时
第1步 / 共5步：原来的工作量
4台 × 6小时＝24机器小时，合计生产120个零件。下一步先计算每格产量。
左侧当前演示对应的结果
120个
4台 × 6小时＝24机器小时
还不能只看台数或时间，先把两者相乘，数清全部工作格。
格子是工作量单位，不是零件尺寸或真实工厂布局。
02
学习目标与必要前置
六年级拓展，具体学期未核实；须核对当地教材后再标学期。A/S仅表示本项目教学深度，不代表已核实的官方分班课纲。
学完能做什么
- 从数量关系说明哪个量固定。
- 通过比值或乘积一定判断正、反比例，拒绝只看增减趋势。
- 联合处理多个条件变化，并用原关系回代。
- 辨认固定费用、效率变化和分段工作对比例法的限制。
先会这些
分数乘除、比与比值、单位换算、简单方程，以及“总量＝每份量×份数”。本页讨论的实际数量均为正数；字母关系须与题意和单位对应。
03
为什么看比值，或看乘积？
先写有单位的数量关系，再选两个正在变化的量。设 x、y 为正数，k 为固定的正数。这里的“固定”须由题目条件或关系推出，不能凭几组数据猜定。
正比例（Direct proportion）
y ÷ x＝k，即 y＝kx
x扩大到原来的a倍时，y也扩大到a倍，两者的比值仍为k。例：单价18元/米不变，总价÷长度恒为18元/米。
反比例（Inverse proportion）
xy＝k，即 y＝k÷x
x扩大到原来的a倍时，y变成原来的1/a，乘积仍为k。例：路程60千米不变，速度×时间恒为60千米。a必须为正。
“都增加”不是正比例的定义，“一个增、一个减”也不是反比例的定义。正方形边长与面积同时增大，但面积＝边长²，面积÷边长并不固定。和一定的两个正数一增一减，乘积却通常变化。
同一个关系，可以产生不同的比例
设 W 是零件数（个），n 是机器数（台），r 是每台每小时的产量〔个/(台·小时)〕，t 是时间（小时）。在本页假设下：
W＝nrt
固定 n、r：W/t＝nr → 产量与时间成正比例。
固定 W、r：nt＝W/r → 机器数与时间成反比例。
所以“机器数与时间成反比例”必须补全条件：总产量与单台效率都不变。若产量也变，不能直接只按机器数倒着乘。
S班：两个条件同时变化，分开固定
同效率 r 下，两种方案满足 W₁＝n₁rt₁、W₂＝n₂rt₂。分别相除消去 r：
t₂ / t₁＝(W₂ / W₁)×(n₁ / n₂)
这也可以解释为：先固定原台数改变产量，时间同倍变化；再固定新产量改变台数，时间按台数的倒数变化。两步之间的假想方案只是比较工具，不是实际必须经历的生产过程。
04
完整例题：从一个固定量到联合变化
以下例题、练习与反例均为本页自拟教学题。
例题二 · S班联合应用：产量翻倍，台数也变
4台6小时生产120个，6台生产240个需多久？
6台与原4台单台效率完全相同，且效率恒定、工作可独立相加，无准备或停机时间。所有机器从生产开始同时投入。
- 先找单位效率：r＝120÷(4×6)＝5个/(台·小时)。
- 正比例一步：先假想保持4台，产量从120到240，扩大2倍，时间6×2＝12小时。
- 反比例一步：再固定240个，台数从4到6，时间变成原来的4/6，12×4/6＝8小时。
- 联合式：t＝6×(240/120)×(4/6)＝8小时。
- 回代：6台×5个/(台·小时)×8小时＝240个，符合目标。
只算6×4/6＝4小时，是把产量错当成仍为120个。只算6×2＝12小时，则漏掉增加的机器。
05
迁移练习：先说固定什么
练习一 · 固定路程
一条路线长60千米。自行车按12千米/小时匀速行驶，不休息。若改按15千米/小时匀速骑同一路线，不休息，需要几小时？比原来少几小时？
展开完整解析
路程固定，速度×时间＝60，速度与时间成反比例。原来60÷12＝5小时；现在60÷15＝4小时，少1小时。
倍数核对：速度扩大到15/12＝5/4，时间乘4/5，5×4/5＝4。12×5＝15×4＝60。实际路线含休息、变速或路况影响时，不能直接把瞬时速度当成全程平均速度。
练习二 · S班结构变式：中途增加机器
仍有4台同效率机器，6小时生产120个零件。要生产240个，先让4台连续生产2小时，再加入2台同效率机器，之后6台持续工作至完成。效率恒定、工作量独立相加，无停机和启动损耗。一共需要多久？
展开完整解析
单台效率120÷(4×6)＝5个/(台·小时)。前2小时完成4×5×2＝40个，剩余240−40＝200个。
后段6台每小时生产30个，需200÷30＝20/3小时。总时间2＋20/3＝26/3小时，即8小时40分。
核对：4×5×2＋6×5×(20/3)＝40＋200＝240。不能直接套“6台全程做8小时”：前2小时只有4台，总用时应比全程6台的8小时更长。
边界辨析 · 固定费用也固定，为什么不是正比例？
配送费由固定服务费12元与每千米3元组成。配送2千米付18元，4千米付24元。费用和路程成正比例吗？
展开判断依据
不成正比例。设路程x千米、总费用y元，y＝12＋3x；y/x＝12/x＋3并不固定。18÷2＝9，24÷4＝6，两比值不同。只有扣除12元后的里程费与路程成正比例。固定某个数，不意味着任选两个量就成比例。
06
易错与回顾
| 容易误判 | 检查方法 |
|---|---|
| 两个量都增大，就成正比例 | 写出比值，证明在适用范围内一定。 |
| 人或机器增加，时间必成反比例 | 还需固定总量与单个效率，且工作可相加。 |
| 题目只列出两对数，比值相等便认定始终成比例 | 有限数据只是核对；须有题意或完整关系支持。 |
| 多条件变化时，一律乘同向倍数 | 对每一步说明固定量，再决定同倍还是倒数。 |
| 中途增机器，按最终台数算全程 | 分段算产量，再求剩余工作。 |
| 忽略单位，直接把分钟与小时相除 | 先统一单位，回代时检查量纲。 |
解题顺序：写数量关系 → 圈出固定量 → 选两个变量 → 检查比值或乘积 → 分步比较 → 回代原关系。判定对象必须明确到“哪两个量，在什么条件下”。
07
逐章回看
文字稿默认展开。点击章节标题，定位到视频中的对应讲解。
四台同样的机器，六小时生产一百二十个零件。假设每台效率不变，没有停机和配合损耗。
把工作排成四行六列。每格是一台机器工作一小时，共二十四格。因此每格生产五个零件。
固定一百二十个零件，把二十四格重新排成六行四列。六台只要四小时，格数没有改变。
机器数乘时间一定，所以两者成反比例。机器数变成原来的二分之三，时间就变成三分之二。
现在固定六台。产量从一百二十变成两百四十，格数翻倍，时间也从四小时变成八小时。这是正比例。
回到原题，同时改成六台和两百四十个。先固定四台，产量翻倍，时间变成十二小时。
再固定两百四十个，机器从四台增至六台，时间乘六分之四，最后仍是八小时。
所以要先找固定量，再看比值或乘积。只是同时增大，不能证明正比例；有固定费用或效率变化时，要重新列关系。
08
学习与图示说明
本页给出定义及代数推导，不据此认定任何地区的教材学期。正式概念可作六年级拓展；具体学期须核对当地教材。
工作格只表示“台数×小时数”，每格产量5个仅属于本页给定机器模型，不能推广到任意工厂。自拟题已作精确分数计算与回代核查；现实中的效率变化须另建关系。产量按可分的等效工作量计算，不讨论逐件加工的离散完成时刻。