工程、浓度与经济模型 · 方法讲解
先合并有方向的效率，碰到空池、满池或开关变化就分段。
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容量为1池，流量恒定。情形一：原有1/2池，进水管每小时注入1/4池，排水管每小时排出1/6池，两管一直开，满池后允许溢流。何时首次满池，8小时后存量多少？情形二：原有1/4池，进水仍为1/4池/时，理想排水泵能力改为1/3池/时；空池后能即时排走新进水。何时首次排空，4小时后存量多少？
第1步 / 共5步：经过0小时
存量=原有1/2池，尚未经过时间。
对应左侧“注满与溢流”情形
1/2池
每小时净增加1/4−1/6=1/12池；6小时达到满池边界。
水量只在0到1池之间。图示为等截面池，水深比例表示存量比例；管径不代表流量。
会分数四则和“工作量=效率×时间”，理解正负数。容量归一后，1表示整池容量，1/4池/时表示每小时改变整池容量的1/4，不能把它与实际升数直接相加。
净效率是工程效率的带方向变式。本页独立讲解的重点是存量上下界与排水限制，并非另立一套工程公式。
S班为本项目教学深度编排，包含分段守恒和边界反例；不是已核实的地方或机构官方课纲。例题、练习均为自拟。
设池容量为C升，存量为Q升；也可令q=Q/C，以池为单位。进水每小时a池，排水及漏水总能力每小时b池。进水记正，流出记负；在池内有水且未满、管路状态固定时：
q₀为该段开始时的水量，t为从该段开始经过的小时数。每过t小时，进来at池、出去bt池，存量增加(a−b)t池，这正是守恒关系。多根进水管相加，多根出水或漏水管相加，不能把进水和出水效率都当正数累加。
| 净效率 | 含义 | 首次边界时间 |
|---|---|---|
| a>b | 水量增加 | 从q₀<1到满池：(1−q₀)/(a−b) |
| a<b | 水量减少 | 从q₀>0到空池：q₀/(b−a) |
| a=b | 水量不变 | 初始不在目标边界，就不会到达该边界。 |
初始已经满池时，“首次达到满池”的时间为0；初始已经空池时，“首次达到空池”的时间也为0。净效率为0时不可除以0。净效率方向与目标相反时，也不能机械相除得到负时间作为答案。
满池且a>b：若两管继续开并允许溢流，存量保持1；溢流效率为a−b。若题设自动关闭进水，接下来可能下降；若题设一满即停止，则只求首次满池时刻。不同规则必须分开。
空池且b>a：在本页理想泵条件下，实际排水只能等于新进来的a，存量保持0；多出的b−a是未用排水能力。不能让排水一直按b计算，得到负水量。若题设空池时关泵，则随后进水会让水量上升，需要新分段。
若流量始终恒定，允许满池溢出，并采用上述空池排水规则，可把存量写成：
这个截断式只适用于规则固定且净效率不变的一段。若中途开关管，必须用上一段末水量作为下一段q₀；不能只对所有时段净流入之和最后截断一次。途中溢出的水已离开水池，后面不能再拿来排。
上述各项都是“池”这一相同单位。容量为C升时乘C，才能得到升数。
例题一 · 注满与溢流
进水管单开4小时注满空池，排水管单开6小时排空满池。水池原有1/2池，两管同时开8小时；流量恒定，满池后允许溢流。求首次满池时间、8小时后存量和累计溢出量。
直接算1/2+8×1/12=7/6池，是没有扣除溢流的账面量。它不是池内存量，多出的1/6池已经溢出。
例题二 · S班结构变式：延迟打开排水
同样的进水管a=1/4池/时、排水管b=1/6池/时，从空池开始。先只开进水管2小时，再打开排水管，进水管继续开。求从开始计时到首次满池的总时间。
排水管的工作时间是6小时，不能从总时间一开始就扣除。若误用1÷(1/12)=12小时，等于把本来没开的排水管也算进去。
例题三 · 排空后，能力不能当实际流量
进水a=1/4池/时，理想排水泵能力b=1/3池/时。初始有1/4池。水泵有水时按能力排水，空池后能即时排走新进水。两管一直开4小时，求首次排空时刻、4小时后存量和实际累计排水。
实际累计排水可以超过1池，因为4小时持续进水；受容量限制的是任一时刻的存量，不是累计经过的水。错误地算4×1/3=4/3池，会比可供水的5/4池多出1/12池。
水池原有3/5池。进水管每小时注入1/10池，理想泵有水时每小时排出1/5池；空池后能即时排走新进水。两管同时开7小时，何时首次排空？最终存量和实际累计排水分别多少？
有水阶段净减少1/5−1/10=1/10池/时，首次排空(3/5)÷(1/10)=6小时。前6小时排出6/5池；最后1小时只能排掉新进的1/10池。
最终存量0池；实际累计排出6/5+1/10=13/10池。守恒：初始3/5+总进7/10=13/10，全部排出。7×1/5=7/5只是满能力工作7小时的排量，本题供水不足，不能实现。
水池原有1/4池。进水每小时1/4池，排水每小时1/6池，流量恒定。先同时开两管2小时，再关闭进水，排水继续开，达到空池即停止。从开始到排空一共多久？
前2小时水量增加2×(1/4−1/6)=1/6池，因此水量为1/4+1/6=5/12池，期间未满池。
关闭进水后，排水效率为1/6池/时，排空还需(5/12)÷(1/6)=5/2小时。总时间2+5/2=9/2小时，即4小时30分。
核查：初始1/4加前2小时进的1/2，共3/4池。排水全程开9/2小时，共排(9/2)×(1/6)=3/4池，恰好排空。
| 错误套法 | 边界与正确判断 |
|---|---|
| 进水1/4、排水1/3，从空池注满时间为−12小时 | 净效率为负，空池无法由此注满；负时间不是未来完成时间。 |
| 进排效率都为1/4，半池最终会满 | 净效率为0，水量一直是半池，不会变满。 |
| 一满之后还按净效率累计存量 | 允许溢流时存量最多1池；自动关水时要重建下一段。 |
| 一空之后还按额定能力排水 | 本页理想模型中实际排水受可用水量限制，存量不能为负。 |
| 中途溢出后，后来排水能用上溢出的水 | 反例：空池先注2池并溢出1池，再排1池，结果为空池；不能用2−1算成满池。 |
| “4小时注满”任何时候都能当1/4 | 须明确指单管、空池到满池、恒定流量，且整池容量相同。 |
解题顺序：统一容量和时间单位 → 给流入流出定方向 → 按开关和到空满事件分段 → 算首次目标时刻 → 用实际流量守恒复核。
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把容量看作一池。进水管单开四小时注满，排水管有水时六小时排空。
同时打开，每小时进四分之一池，排六分之一池，净增加十二分之一池。
原有半池水，还缺半池。用二分之一除以十二分之一，六小时首次注满。
满池后若两管继续开，多余水溢出。存量保持一池，不能继续直线增加。
换个情形：原有四分之一池，进水仍是四分之一，理想泵排水能力为三分之一。
有水时，每小时净减少十二分之一池。三小时后，第一次排空。
空池后，假设泵能即时排走新进水，实际每小时只排四分之一池，存量保持零。
负的净效率表示水量减少，不表示负水量。先分段，再计算，碰到空池满池就检查规则。
本页结论由水量守恒与分数运算推导，例题为自拟，未引用未经核实的题库或课纲。教学动画用等截面池表示存量，管径和流动粒子的速度不表示数值；图中小时数是题目经过时间，视频秒数是讲解进度。
恒定排水是理想数学模型，不可直接套用真实重力排水或泵的运行。边界规则必须由题意给出：本页满池允许溢流，空池采用理想即时排走来水的规则。下载视频 · 下载完整离线包