立体几何与空间模型 · 方法讲解
把水、浸入部分与溢水，放进同一个体积守恒式。
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先看完整条件：一个等截面容器的水平截面积为100 cm²，原水深6 cm，口沿高12 cm。把体积240 cm³的实心物体完全浸没，不吸水、不溶解、无飞溅。最终水深是多少？切换下面的条件，观察守恒式怎样改变。
第1步 / 共4步：原水深6 cm，尚未浸入。水的体积为100×6=600 cm³。
左侧：完全浸没的240 cm³物体
6 cm
初始水量600 cm³。物体从水面以上缓慢下降，浸入多少，就排开多少。
四种模式是不同实验，不是连续往同一个容器里加入四个物体。图为剖面示意，不按比例；物体用外力固定，不分析浮力。
会用底面积×高求直柱体体积，会做分数四则及一元一次方程。cm²是面积单位，cm³是体积单位。水平截面积表示在指定高度水平切开容器所得的内部面积。
本页S班为项目编排，非当地官方课纲或六上必学声明。变截面只限各段截面积恒定、分界高度已知的模型，不处理任意曲面容器。
容器固定；水不可压缩；物体刚性、实心、不吸水、不溶解；缓慢放入，无飞溅、蒸发或附着带水。物体可由细线或细杆固定，其体积忽略。漂浮物必须另用浮力条件，本页不套用沉物体积公式。
记 C(h) 为容器从底部到高度 h 的内部容积，h₀ 为初始水深，h₁ 为最终水深，V浸为最终在水面以下的物体体积，Q为流出容器的水体积。初始没有物体，初始水量为 C(h₀)。
C(h₁) = C(h₀) − Q + V浸
理由：最终水面以下每一处空间，或者是剩余的水，或者是物体的浸入部分；二者不重叠，也没有空隙。移项得：
V浸 = C(h₁) − C(h₀) + Q
这就是本页的通用守恒式。只有完全浸没时，V浸才等于物体总体积 V物。如果没有溢水，Q=0。若容器等截面、面积为A，C(h)=Ah，才进一步得到 V浸=A(h₁−h₀)。三个条件不能省略。
一根底面积a、高L的直柱体竖直放在底部，水面低于柱顶，则 V浸=ah₁。无溢水时 Ah₁−ah₁=Ah₀，即 h₁=Ah₀/(A−a)。必须有0<a<A，且算后核查0<h₁<L；若h₁≥L，就该按完全浸没重新列式。式中的a是物体截面积，A是容器截面积，不能互换。
本页分段容器在0至10 cm处截面积100 cm²，在10至13 cm处截面积200 cm²。因此 h≤10 时 C(h)=100h；10<h≤13 时 C(h)=1000+200(h−10)。跨过10 cm台阶时，不能用单一底面积乘总升高量。
口沿高H。先检查不考虑溢水时所需占据的容积，是否超过 C(H)。若超过且仍能按题意完全浸没，则最终水深为H，Q=C(h₀)+V物−C(H)。物体若露出口沿，需改用口沿以下的浸入体积，不能直接放入总体积。
等截面容器的面积100 cm²，原水深6 cm，口沿高12 cm。（1）体积240 cm³的实心物体完全浸没，无溢水，求水深。（2）另做一次实验，恢复原水量，改把底面积20 cm²、高10 cm的直柱体竖直贴底固定，求水深。两次均不吸水、不溶解且无飞溅。
一个上宽下窄的分段容器：0至10 cm的水平截面积100 cm²，10至13 cm为200 cm²，口沿13 cm，初始水深8 cm。（1）把底面积60 cm²、高10 cm的直柱体贴底固定并完全浸没。（2）重新恢复原水量，换成底面积80 cm²、高12.5 cm的直柱体贴底固定并完全浸没。分别求最终水深及溢水量。均无吸水、溶解、飞溅，柱体可放入容器。
等截面容器面积150 cm²，口沿9 cm，原水深7 cm。把450 cm³的实心物体完全浸没，无吸水、溶解或飞溅。最终水深和溢水量各是多少？仅凭最终水深能否还原物体体积？
若无口沿限制，升高450÷150=3 cm，水深会到10 cm，超过口沿。实际只能到9 cm，升高空间150×(9−7)=300 cm³，所以溢水450−300=150 cm³。最终水深9 cm。仅凭水位只能知道V浸至少300 cm³；还需知道溢水量才能还原450 cm³。不同的更大沉物都可能使水停在同一口沿。
分段容器在0至5 cm截面积80 cm²，5至9 cm截面积160 cm²，口沿9 cm。原水深4 cm。将体积240 cm³的实心物体完全浸没且无溢水，求水深。其形状保证能完全浸入且能放入容器，无吸水、溶解或飞溅。
先到5 cm台阶，需80×(5−4)=80 cm³。余下240−80=160 cm³放在上层，使水位升高160÷160=1 cm，最终水深6 cm，低于口沿9 cm。复核：C(6)=80×5+160×1=560 cm³；减物体240，剩水320 cm³，等于初始80×4。不能直接用240÷80得到升高3 cm，因为上层已变宽。
解题顺序：确认物体浸入状态 → 写容器容积C(h) → 查口沿和溢水 → 列守恒式 → 核查水面与柱顶、台阶、口沿的相对位置。
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水没有增加。放入物体后，水面以下的容器空间，由水和浸入部分共同占据。
横截面积一百，原水深六厘米。二百四十立方厘米的物体完全浸没，又没有溢水。
增加的空间等于排水体积。水位升高二点四厘米，最后水深八点四厘米。
若是底面积二十、高十厘米的柱体竖直贴底，水位低于柱顶，就只能算浸入部分。
设最终水深为h，水占底面积八十的空间。八十乘h等于六百，水深七点五厘米。
再看分段容器：十厘米以下截面积一百，以上二百，初始水深八厘米。
完全浸没六百立方厘米的物体。先用二百填到台阶，还剩四百，使上层再升两厘米。
最终水深十二厘米。跨过台阶，不能把全部升高量乘同一个底面积。
同一容器口沿高十三厘米。若浸没的物体改为一千立方厘米，水会溢出。
从原水位到口沿，增加的空间是二百加六百，共八百。另有二百立方厘米溢出。
所以，浸入体积等于水位升高增加的空间，加溢水量。先查浸入、截面和溢水三个条件。