例题一｜圆心的直线轨迹
半径2厘米的圆沿水平直线向右无滑动滚动，圆心向右前进12π厘米。求圆心的轨迹长、离地高度，以及滚动圈数。
- 圆心离地高度始终等于半径，为2厘米。轨迹是平行于地面的一段直线。
- 全程向右，无往返，所以轨迹长等于前进距离，为12π厘米。
- 圆周长为2π×2=4π厘米。无滑动时一圈前进一个周长，圈数为12π÷4π=3圈。
- 检查：3×4π=12π，与题目给的前进距离一致。高度不是轨迹长，也不是圆周长。
平面几何 · S班拓展
返回知识点目录滚动、翻滚与轨迹
认准研究点，逐段找支点、半径与转角。
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01
同一顶点，为什么走出三段圆弧？
一个长4厘米、高3厘米的刚性矩形，初始下边甲乙贴地，甲在左下、乙在右下、丙在右上、丁在左上。矩形沿水平地面向右无滑动翻滚4次，每次恰好90°。求标记点甲的轨迹长，以及甲的水平位移。
第0步：甲(0,0)、乙(4,0)、丙(4,3)、丁(0,3)。依次绕乙、丙、丁、甲旋转。
当前矩形演示 · 每4步完成一次翻滚
第一次支点是乙
4 厘米
甲到支点乙的距离不变；甲走四分之一圆弧。
棕色轨迹是甲实际走过的路；地面刻度是水平位置。图中初始矩形按4:3绘制，单位为厘米。
02
学习准备与研究范围
目标：区分轨迹长与位移；用定点旋转识别圆弧；能处理支点变化、半径不同和研究点成为支点的情况。
前置：圆的周长2πr、扇形圆心角、矩形性质、勾股定理，以及分段求和。勾股定理在本页以已知前置使用：直角三角形两直角边a、b和斜边d满足d²=a²+b²。
定位：本页为项目编排的S班拓展，不作A班常规要求，也不声称是六上官方必学。限定水平直线、刚性物体、无滑动接触；不研究一般圆周点的摆线长度、曲面滚动或真实碰撞动力学。
03
为什么能拆成圆弧？
圆心轨迹：高度不变
圆与水平直线相切，圆心到切点的半径垂直地面，长度始终为r。因此圆心始终位于距地面r的平行线上；连续向右滚动时，圆心轨迹就是该直线上的一段。
若向右无滑动滚动n圈，n为非负整数，接触轮缘在地面展开n个周长，圆心前进2πrn。若题目已直接给圆心从左到右前进d，则轨迹长就是d，不需要额外乘周长。若往返，轨迹的行走总长与起终点距离也要分开。
多边形翻滚：每段先冻结支点
一段翻滚中接触顶点O固定，刚体上的点P到O的距离不变。点P的位置因此在以O为圆心、OP为半径的圆上；转过θ度就走相应圆弧。弧长是整圆周长的θ/360：L=2π·OP·θ/360。这里θ取该段实际旋转角度，单位为度。
矩形从一条边贴地翻至下一条边贴地，邻边互相垂直，向右需要顺时针转90°。所以每段弧长是π·OP/2。换了支点，半径必须重新量；P正好是O时，P固定不动，该段贡献为0。
同一顶点先后绕多个顶点旋转，得到的是多段圆弧的拼接，通常没有单一圆心。轨迹总长是各段长度之和，即使重复经过某处也按走过次数累加。
04
两道完整例题
例题二｜3×4矩形：四次翻滚，只有三段非零圆弧
条件与上方演示完全相同。初始顶点依次甲(0,0)、乙(4,0)、丙(4,3)、丁(0,3)，单位厘米。每次向右翻90°，共4次，求甲的轨迹长和位移。
- 第一次绕乙，半径甲乙=4；甲由(0,0)到(4,4)，弧长2π厘米。
- 第二次绕丙，此时丙在(7,0)。甲丙是矩形对角线，d²=4²+3²=25，d=5；甲到(11,3)，弧长5π/2厘米。
- 第三次绕丁，此时丁在(11,0)。甲丁=3；甲到(14,0)，弧长3π/2厘米。
- 第四次绕甲，甲固定在(14,0)，半径0，甲的路程0。其他顶点仍会运动。
- 相加得到2π+5π/2+3π/2=6π厘米。甲起终点都在地面，水平位移为14−0=14厘米；也可由各次最右支点推进3+4+3+4=14核对。
一般化：底边a、高b的矩形，标记最初左下顶点，四次90°向右翻滚，轨迹长为π(a+√(a²+b²)+b)/2，水平位移为2(a+b)，其中a、b均大于0。根号项必须是对角线，不能用a+b代替。
05
迁移练习
练习一｜换半径，仍先问研究点
半径3厘米的圆在水平地面向右无滑动滚动2圈。求圆心的轨迹长、离地高度。能否据此直接断言圆周上一点也走同样长？
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一圈前进2π×3=6π厘米，两圈前进12π厘米。圆心始终离地3厘米，轨迹为直线段，所以轨迹长12π厘米、高度3厘米。不能把此结论套给圆周点：圆周点相对圆心旋转，高度变化，其轨迹不是这条直线。本页不计算其摆线长度。
练习二｜只翻两次，不能套完整周期
底边5厘米、高12厘米的矩形，甲在初始左下，乙在右下，丙在右上，丁在左上。沿水平地面向右无滑动翻滚2次，每次90°。求甲的轨迹长与水平位移；甲最后离地多高？
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第一次绕乙，半径5，甲从(0,0)到(5,5)，弧长5π/2厘米。第二次绕丙，此时丙在(17,0)。对角线d满足d²=5²+12²=169，所以d=13，弧长13π/2厘米。总轨迹长(5+13)π/2=9π厘米。
第二次甲到(17,12)，因此水平位移为17厘米，最后离地12厘米。本题只问水平位移；起终点的直线距离另为√433厘米，不是17厘米。未做完四次，不能使用完整周期位移2(5+12)=34厘米。
06
边界反例、易错与回顾
- 圆心与圆周点不同：初始切点的离地高度为0，半圈后在最高点，高度为2r；高度改变，轨迹就不可能是圆心那条水平线。
- 不能把半径都取边长：边长2的正方形，标记初始左下点，第二次翻滚半径是2√2。四次总长为π(2+√2)，不是4π。
- 静止也要计入分段：第四次以甲为支点，矩形翻动不代表甲也在移动。用“每次一段相同圆弧”会多算。
- 转角由接触方式确定：矩形每次90°；其他凸多边形逐边翻滚时转角与对应外角有关，不能把90°推广到所有图形。跨棱、离地或滑动需要重新建模。
- 有滑动时不能由圈数推前进距离：圆可以原地打滑自转，转一圈却未前进一个周长。无滑动是圈数关系的必要模型条件。
解题顺序：确定点 → 标每段支点 → 写转角与半径 → 求弧长并相加 → 用坐标或接触点核对位移。图能提示分段，距离不变与圆弧公式才是计算依据。
07
逐章回看
文字稿默认展开；点击标题定位到对应讲解。
半径两厘米的圆沿直线无滑动滚动。圆心一直离地两厘米，所以圆心轨迹是平行于地面的直线。
圆心前进十厘米，轨迹就长十厘米。圆周上的点会忽高忽低，不能套用这个结论。
再看长四、宽三厘米的矩形。标记最初的左下顶点甲，向右连续翻滚四次，每次九十度。
第一次绕右下顶点乙旋转。甲到乙始终是四厘米，所以甲走半径四厘米的四分之一圆弧。
第二次换支点丙，甲到丙是对角线，长五厘米。第三次绕丁，半径是三厘米。
第四次轮到甲自己做支点，甲保持不动。这一段轨迹长度为零，不是再走一段圆弧。
四分之一圆弧长等于半径乘派再除以二。把四、五、三、零相加，总轨迹长六派厘米。
矩形向右推进三加四加三加四，共十四厘米。这是位移，不等于标记点走过的曲线长度。
解题时依次确定研究点、支点、转角和半径，再分段相加。圆周点的摆线问题，本页不作展开。