工程与变化 · 方法讲解
先从两种方案求增长，再用净消耗处理原有量与分段剩余量。
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同一片草地，两次从相同的草量开始。12头牛18天吃完，10头牛30天吃完。草在吃完前均匀生长，每头牛每天的食量相同且恒定。若换成16头牛，几天吃完？若先让12头牛吃6天，再换成10头牛，又需多久？本页把每头牛每天吃的草定义为1份。
第1步 / 共5步：对齐两种方案
12头 × 18天 = 216份；10头 × 30天 = 300份。
总消耗 = 初始草量 + 期间新长草量
两次初始量相同，后一方案多12天。
对应左侧：两方案反推与16头牛预测
216 / 300份
多出来的84份草，不是原有草变多，而是后一个方案多生长了12天。
图中份数是统一计量单位；不是牛的数量，也不是草地面积。格子只表示草量，不表示真实草场形状。
会路程或工作量中的“数量=速度×时间”，会解一元一次方程，能理解差量消元。这里的率是每天变化多少份，不是百分比。时间按连续量处理，答案允许分数天；题目要求整头牛时，牛数必须是整数。
S班是本项目的教学深度编排，包含反推、分段及边界分析；不代表已核实的机构或地方官方课纲。本页例题、练习均为自拟教学题。
把1头牛1天吃的草量定义为1份。设初始草量为 G 份，每天新长 g 份，牛数为 n，经过 t 天恰好首次吃完。草一直以每天 g 份的总量增长，每头牛每天吃1份，因此：
nt 的单位是份，因为它实际上是“n头×1份/(头·天)×t天”。在这个单位体系下 n 与 g 的数值可以相减，但实际相减的是总消耗率与增长率。若每头牛每天吃 c 千克，则原式为 G+gt=nct，净消耗率为 nc−g，不能直接用 n−g 千克/天。
两次从同样的 G 开始，草的增长率也同为 g。设 n₁头用t₁天吃完，n₂头用t₂天吃完：
第二式减第一式，初始量 G 消失：
本题(10×30−12×18)÷(30−18)=84÷12=7。多12天的总消耗差，只能来自多12天新长的草。交换两个方案的顺序时，分子和分母都变号，结果不变；不能只换其中一个。
G = (n−g)t
用任一种方案求出，再代入另一种方案核查。
t = G ÷ (n−g)
G>0且n>g；即草量必须持续减少。
第一段用 a 头吃 s 天，第一段结束仍有草，则剩余 R=G−(a−g)s。换成 b 头后，若 b>g，后段再用 u=R÷(b−g) 天。总时间为 s+u。
若指定总时长 T，且T>s，后段牛数满足 b=g+R÷(T−s)。总量等式仍需配合每段草量不能提前到零这一条件；“吃完”的连续过程在首次归零时结束，不能在负草量上继续计算。
例题一 · 从两组观测到新预测
同一片草地，两次开始的草量相同；吃完前草均匀生长，各牛每天食量相同且恒定。若第三次仍从同样的初始量开始，16头牛几天恰好吃完？
若误当作固定总量做反比例，12×18÷16=13.5天会错，因为这两种方案经历的生长时间不同。
例题二 · S班结构变式：指定总时间，反求后段牛数
草地仍满足例题一的全部条件，初始90份，每天新长7份。先让12头牛吃6天；第6天结束立即换成固定数量的牛，要求从开始算总共16天恰好吃完。后段应有多少头牛？
与左侧“换10头”的演示区别：换10头后净减3份/天，后段用20天，总共26天；本例指定总16天，反求得到13头。两种题目不能混用答案。
同一片草地，两次初始草量相同。15头牛20天吃完，12头牛35天吃完；草均匀生长，各牛食量相同且恒定。仍以每牛每天吃的草为1份。求每日增长量、初始草量，以及18头牛从相同初始草量开始的吃完时间。
草地初始90份，每天均匀新长7份，每牛每天吃1份。先用14头牛吃5天，然后立即换成12头，问还需几天吃完、从开始算共几天？草量首次为0时即停止。
答案的11天只指换牛之后；16天才是全过程。
沿用例题二，先12头吃6天，但改为要求总共19天恰好吃完。后段保持固定牛数且牛数必须为整数，能否做到？若只要求不晚于第19天，最少几头？
第一段仍剩60份。后段有13天，所需牛数b=7+60/13=151/13=11又8/13头，不是整数，所以用固定整数头牛不能恰在第19天吃完。若只要求不晚于第19天，11头净减4份/天，需要15天，合计21天，太晚；12头净减5份/天，需要12天，合计18天，符合。因此最少12头。不可把向上取整后的答案描述为恰好19天。
| 牛数 | 草量变化 | 结论 |
|---|---|---|
| n>7 | 每天减少n−7份 | 有限时间90÷(n−7)吃完 |
| n=7 | 每天变化0份 | 始终90份，不会吃完 |
| n<7 | 每天增加7−n份 | 草越来越多，不会吃完 |
统一食量单位 → 写两次守恒 → 用差求增长 → 回代求初始量 → 分段算剩余 → 检查净消耗、首次归零与整数约束。用自己的话说明：牛少一点，除了每天少吃，草还有更多时间生长，因此天数可能多出很多。
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同一片草地，十二头牛十八天吃完，十头牛三十天吃完。两次都从相同草量开始。
把每头牛每天吃的草记为一份。两种方案分别吃掉二百一十六份和三百份。
后一方案多十二天，多吃八十四份。这些差量，恰好是多十二天长出的草。
所以每天新长八十四除以十二，等于七份。比较两次总消耗，是为了消去初始草量。
十二头牛每天吃十二份，同时长七份，草量每天净减少五份。
十八天把原有的草减完，所以初始草量是五乘十八，等于九十份。
若改为十六头牛，每天净减少十六减七，等于九份，九十除以九，十天吃完。
再看分段。先让十二头牛吃六天，净减少三十份，剩下六十份。
然后改为十头牛，每天净减少三份，还需二十天。两段相加，共二十六天。
如果只有七头牛，吃掉与新长一样多，草量不减少，不能算出有限的吃完时间。
这个模型要求同样的初始草量、恒定增长与食量。实际草场不能不经检查，就默认恒定增长。