行程模型 · 相对运动
先固定起点与方向，再看相对位移何时补成整圈。
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周长400米，甲、乙同时匀速顺时针跑，速度分别为6米/秒、4米/秒。乙在甲前方100米，甲多久首次追上乙？甲比乙多跑一圈时，两人是否重合？
当前演示解释
50秒
甲每秒补回6−4=2米；100÷2=50秒。相遇时甲比乙多跑100米，还没有多跑一整圈。
图中用实心点表示甲、环形点表示乙；同一点重合时仍可区分。跑道图表示位置，下面文字表示累计路程。
本页面向S班方法训练。A/S为项目教学深度编排，不是官方课纲。前置：路程=速度×时间、追及与相遇、余数、分数运算，以及最小公倍数。
目标：会选有方向的弧距；区分相遇与累计路程套圈；能把多人同时重合转化为共同满足的条件。以下均为理想点模型：同一闭合跑道、同时起计、各段匀速、不停留、不变道、无超越阻碍。若有停留或变速，须按时间段另列方程。
设周长为L，顺时针为正。甲从坐标0出发，乙的初始顺时针坐标为d，取0≤d<L；两人的有向速度为u、v，顺时针为正、逆时针为负。t秒后展开坐标分别是ut与d+vt。
圆上走L米回到原位置，因此两个展开坐标相差kL时表示圆上的同一点，k为任意整数：
找首次相遇时，只保留t>0，再选其中最小的时间。初始重合的t=0不算“出发后首次”。若只求t≥0，必须说明是否包含出发瞬间。这里的d是选定正方向的坐标，不能随意换成较短弧。
同向且甲更快、0<d<L时，首次追上t=d/(u−v)，之后每隔L/(u−v)重合一次。同点出发d=0时，出发后首次重合需相对多走一整圈。
乙逆时针、速率为b时，v=−b，闭合速度是u+b。0<d<L时，首次相遇为d/(u+b)，以后每隔L/(u+b)相遇。不是每次相遇都从零补一圈。
本页把“甲比乙多跑一圈”明确解释为两人的累计路程差达到L。不同起点的首次同向相遇通常只多跑d米；路程差达到L时，也未必重合。题目若用“套圈”表示一次超越，应先明确具体定义。相向运动的相遇由有向速度差控制，不应把两人路程之差当闭合速度。
三人同点同向匀速跑，速度为a、b、c，三人重合必须使(a−b)t、(a−c)t同时为L的整数倍。只检查一组，只能保证两人重合。速度差为零时，两人始终重合，不要除以零。求最早正共同时间可以枚举两组周期的共同倍数；使用最小公倍数前须统一时间单位，分数周期可先通分化为整数单位。
条件与演示相同：甲6米/秒、乙4米/秒，同时同向匀速跑。求首次追上时间、地点，并判断累计路程相差一圈时是否相遇。
结构变式：乙改为逆时针，甲仍顺时针。首次相遇100÷(6+4)=10秒，位置60米；相邻间隔400÷10=40秒，第3次在10+2×40=90秒。甲位置540−400=140米，乙位置100−360再加400=140米。
周长360米，甲、乙、丙同时从同一点同向匀速出发，速度分别为6、4、3米/秒。求出发后三人第一次同时重合的时间。
只需核查甲乙与甲丙：如果乙、丙在同一时刻都和甲重合，就必然互相重合。无需把每一对单独列为新的未知条件。
例题与练习均为本页自拟教学题。每题先画出方向，再计算。
周长300米，两人同时同向匀速跑。甲5米/秒、乙3米/秒，甲在乙前方75米。求甲出发后第一次、第二次追上乙的时间及第二次相遇地点（以甲出发点为0，顺时针为正）。
甲虽在前面，但沿同向从甲到乙还要走300−75=225米，不能把75米当作甲要补的弧距。以甲起点0，乙坐标为225米，也可写为−75米。
首次：225÷(5−3)=225/2秒，即112.5秒。相邻相遇间隔300÷2=150秒，第二次为225/2+150=525/2秒，即262.5秒。
第二次甲累计路程2625/2米，减去4圈1200米，位置225/2米，即112.5米。乙展开坐标−75+3×525/2=1425/2米，减去2圈600米，同样为225/2米。小数均为精确有限小数。
周长240米，甲、乙、丙同时同点同向匀速出发，速度分别为5、3、1米/秒。求出发后首次三人重合的时间，是否在起点？
甲乙周期240÷(5−3)=120秒，甲丙周期240÷(5−1)=60秒。最早正共同时间为120秒。
三人累计路程分别是600、360、120米，除以240的余数都是120米。所以在起点对面的半圈处重合。不能用“各自跑整圈回起点”的最小公倍数代替“三人位置相同”。
解题顺序：标正方向与初始坐标 → 写有向速度 → 让展开坐标差为整圈 → 选最小正时间 → 用实际位置核查。
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四百米环形跑道，甲乙都顺时针跑，速度分别为每秒六米和四米，乙领先一百米。
把跑道沿起点剪开。乙的展开位置是一百加四乘时间，甲是六乘时间。
甲每秒补回两米，五十秒补完一百米。此时两人都在三百米处，甲没有多跑一圈。
如果问甲比乙多跑一圈，需要二百秒。此时甲在起点，乙在一百米处，并不相遇。
改成乙逆时针跑，两人先共同走完一百米，十秒相遇。此后每四十秒再相遇一次。
再看三人题。周长三百六十米，同点同向出发，速度为每秒六米、四米和三米。
甲乙每一百八十秒重合，甲丙每一百二十秒重合。最早的正共同时间是三百六十秒。
环形相遇不是只背周长除速度。先标起点与方向，再让相对位移满足整圈条件。