平面几何 · 方法与模型

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等高三角形与鸟头面积比

用两次同高比较，把两条边的分率连接为面积分率。

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01

先解一个完整的两边分点问题

△ABC面积80平方厘米，D、E分别在AB、AC内部，AD:DB=2:3，AE:EC=3:1。求△ADE及四边形DBCE的面积。点击下一步，观察同一组条件如何连接两次面积比。

ABCDEAD : DB = 2 : 3　AE : EC = 3 : 1

第1步 / 共5步：先读分段比。D、E都在边的内部，小三角形完整包含在大三角形中。

对应左侧80平方厘米的原题

2:3 与 3:1

先读分段条件

2:3比较AD与DB，3:1比较AE与EC。它们不是小边与全边的分率。

图中填色只突出当前比较对象；以条件及推导为准，不通过目测面积得答案。

02

学习准备与范围

本页目标

  • 用面积公式证明同高面积比等于底边比。
  • 找中间三角形，推出两边分点的面积比乘积。
  • 由面积比反求边的分点比，区分全边与剩余段。

必要前置

理解三角形面积公式、点到直线的垂直距离，会分数乘除、比的化简及简单方程。符号 S(XYZ) 表示三角形XYZ的普通面积。

本页为S班方法深化编排，不声称是某地官方分班或六上必学内容。这里只讨论非退化三角形和边内分点；不使用有向面积或外分点公式。

03

原理：共同高是桥梁，乘积是结果

一、同高究竟指什么？

两三角形选定的底边在同一直线上，且各自顶点到这条直线的垂直距离相等，就是这次比较所需的同高。共顶点且底边共线，是最容易确认的一种情况；两个顶点在与底边平行的同一直线上，也能保证同高。

设两底长为b₁、b₂，共同高h>0，由面积公式直接得到：

S₁/S₂ = (b₁h/2)/(b₂h/2) = b₁/b₂

例如同高为6、底长为4和10，面积分别12、30，面积比2:5。共同高可以约掉，不必先求出它。

二、本页“鸟头”结构与适用条件

在非退化△ABC中，D在AB内部、E在AC内部，连接DE。△ADE与△ABC在A处共角，且各对对应边在同一条射线上。这里把这种共角、两边分点结构称作“鸟头”。仅有图形长得像鸟头，不能证明这些条件。

三、用ABE作桥梁，分两段推导

  1. 连接BE。△ADE与△ABE以AD、AB为底，共用顶点E到直线AB的高。因此 S(ADE)/S(ABE)=AD/AB。
  2. △ABE与△ABC以AE、AC为底，共用顶点B到直线AC的高。因此 S(ABE)/S(ABC)=AE/AC。
  3. 两式相乘，正的中间面积S(ABE)约去，得到下面的乘积。
S(ADE)/S(ABC) = (AD/AB) × (AE/AC)

若AD:DB=m:n、AE:EC=p:q，且m、n、p、q均为正，则AD/AB=m/(m+n)，AE/AC=p/(p+q)，面积分率为 mp/[(m+n)(p+q)]。两次比较分别有自己的共同高，不要求两次的高互相相等。

四、为什么能反求？

若面积分率r及边分率a=AD/AB已知，且a>0，则AE/AC=r/a。本页内分条件还要求0<r<a<1；若反求分率超过1，说明题设与“E在AC内部”不相容，不能照画一个内部点来掩盖矛盾。

04

完整例题：正向求面积，反向求分点

本页例题与练习均为自拟教学题，面积单位保持一致，计算采用精确分数。

例题一 · 分段比转全边分率

已知两边分点，求小三角形与剩余部分

△ABC面积80平方厘米，D、E分别在AB、AC内部，AD:DB=2:3，AE:EC=3:1。求△ADE及四边形DBCE的面积。

  1. AB由2+3=5份组成，所以AD/AB=2/5；AC由3+1=4份组成，所以AE/AC=3/4。
  2. 连接BE。S(ADE)/S(ABE)=2/5，S(ABE)/S(ABC)=3/4。
  3. 相乘得小三角形占全体(2/5)×(3/4)=3/10，其面积80×3/10=24平方厘米。
  4. △ADE与四边形DBCE恰好分割△ABC，剩余面积80−24=56平方厘米。

独立核对：先求S(ABE)=80×3/4=60，再求S(ADE)=60×2/5=24。四边形面积不是用80乘(1−2/5)(1−3/4)。

例题二 · S班结构变式：由面积反求分点

面积已知，E应如何分AC？

△ABC面积96平方厘米，D在AB内部且AD:DB=2:1；E在AC内部。已知S(ADE):S(ABC)=5:12。求AE:EC及△ADE面积。

  1. AD/AB=2/(2+1)=2/3。设AE/AC=x，面积关系给出(2/3)x=5/12。
  2. x=(5/12)÷(2/3)=5/8，位于0与1之间，符合内部点条件。
  3. EC/AC=1−5/8=3/8，所以AE:EC=(5/8):(3/8)=5:3。
  4. S(ADE)=96×5/12=40平方厘米。

复核：S(ABE)=96×5/8=60，S(ADE)=60×2/3=40。这里5/8是AE与全边AC的比，答案5:3则是AE与剩余段EC的比，二者不可混淆。

05

迁移练习：检查分母与内部点

练习一 · 两边分点都换一组

△ABC面积90平方厘米。D、E分别在AB、AC内部，AD:DB=3:2，AE:EC=2:1。求△ADE和四边形DBCE的面积。

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AD/AB=3/5，AE/AC=2/3。连接BE，两次同高比较相乘得到S(ADE)/S(ABC)=(3/5)×(2/3)=2/5。

小三角形面积90×2/5=36平方厘米；四边形面积90−36=54平方厘米。分割核对：36+54=90。

练习二 · 一半的边能确定另一边吗？

△ABC面积60平方厘米，D是AB的中点。E在AC内部且△ADE面积18平方厘米。求AE:EC，并判断若把小面积改成36平方厘米，内部点E是否仍存在。

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AD/AB=1/2，面积分率18/60=3/10，因此AE/AC=(3/10)÷(1/2)=3/5，EC/AC=2/5。所求AE:EC=3:2。

若小面积为36，则AE/AC=(36/60)÷(1/2)=6/5>1，与E在AC内部矛盾，这样的内部点不存在。D为中点时，内分小三角形面积一定小于整体的一半30；不能因计算能进行就接受不合条件的答案。

06

反例、边界与回顾

反例一：底比相同，但高不相同

两个三角形的底分别为4和10，高分别为3和6，面积是6和30。底比2:5，面积比却是1:5。没有同高条件，不能直接把面积比等同底比。

反例二：把分段比2:3直接当作2/3

AD:DB=2:3时，AD占AB的2/5。若把它误用成2/3，并和AE/AC=3/4相乘，会得到1/2，错误地算出面积40；正确面积是24。

内部点与退化边界

D=B、E=C时小三角形等于整个三角形；D=A或E=A时小三角形退化、面积为0。乘积形式在这些端点仍可理解，但含中间面积分母的证明可能出现除以0，必须另用面积为0的事实处理。本页推导主动限定严格内部点，保证所有被除面积为正。外分点、延长线和有向面积需另行讨论。

回顾：核实共线与分点 → 连接BE作桥梁 → 两次同高比底 → 相乘约中间面积 → 检查全边分母、内分范围与面积单位。

07

逐章回看

文字稿默认展开；点击标题可定位到对应视频章节。

三角形的面积是底乘高的一半。两个三角形同高，面积比就等于对应的底边比。

在三角形ABC中，D在AB内部，E在AC内部。连接DE和BE，研究小三角形ADE占整体的多少。

先比较ADE与ABE。它们的底AD和AB共线，顶点同为E，所以同高，面积比等于AD比AB。

再比较ABE与ABC。这次以AE和AC为底，顶点同为B，所以面积比等于AE比AC。

两段面积比相乘，中间的ABE面积约掉。因此，小三角形占整体的分率，等于两条边上对应分率的乘积。

若AD比DB是二比三，AE比EC是三比一，先换成全边分率，分别是五分之二和四分之三。

相乘得到十分之三。整体面积八十，小三角形面积就是二十四，剩余四边形面积五十六。

关键不是记住鸟头的外形，而是找到两次同高的比较。分母用全边，条件先核实，动画只帮助看清证明。

08

图示与来源说明

图示根据内部点条件绘制，图形展示不代替证明；所有结论均在正文从面积公式推导，题目为自拟教学题。没有引用未经核实的官方课纲或题库。下载视频 · 下载完整离线包