蝴蝶模型

凸四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于内部点 O。已知三角形 AOB、BOC、DOA 的面积依次为 6、9、12 平方厘米。求三角形 COD 的面积。图中 p、q、r、s 分别表示四块面积，按 AOB、BOC、COD、DOA 的顺序固定标记。

“蝴蝶模型”是本页对这种分块关系的名称。图像是否像蝴蝶不构成依据。凹四边形、交点在边界或延长线上的情形，本页公式的正面积表述不直接涵盖，应重新证明。

以下 [XYZ] 表示三角形 XYZ 的面积。固定 p=[AOB]、q=[BOC]、r=[COD]、s=[DOA]。这里的“相对”指 p 与 r、q 与 s。

1. 固定顶点 B，比较 AC 上的底。A、O、C 共线，三角形 AOB 与 BOC 到 AC 的高相同，故 p/q=AO/OC。
2. 固定顶点 D，再比较同一组底。三角形 DOA 与 DOC 到 AC 的高相同，故 s/r=AO/OC。B 与 D 的两条高可以不同；从未要求它们相等。
3. 连接两个比例。p/q=s/r，四块面积都为正，所以交叉相乘得到 pr=qs。
4. 换一条对角线检查。B、O、D 共线，同理有 p/s=q/r=BO/OD，交叉相乘仍得 pr=qs。

S班结构：从局部比例到总面积

若 AO:OC=m:n，则 p:q=s:r=m:n，也有 (p+s):(q+r)=m:n。原因是可令 p=mu、q=nu、s=mv、r=nv，其中 u、v>0；两组和分别为 m(u+v)、n(u+v)。

若另外 BO:OD=a:b，则四块可写成 p:q:r:s=ma:na:nb:mb。总权重为 (m+n)(a+b)，总面积 T 的每一块等于 T 乘对应权重再除以总权重。这是先按 AC 两侧分组、再按 BD 分组的结果，不要求对角线垂直。

面积乘积相等，不推出对角线互相平分

例题一的 6、9、18、12 满足 pr=qs，却有 AO:OC=2:3、BO:OD=1:2。一个具体可实现的坐标模型是 O=(0,0)，A=(−4,0)，B=(1,3)，C=(6,0)，D=(−2,−6)。用 AC 上的底和到 AC 的高可直接算出四块面积为 6、9、18、12；这也说明反例确实来自凸四边形。

不能给任意四个正数都贴上“蝴蝶”标签

若四块按固定次序写为 6、9、17、12，则 6×17=102，而 9×12=108。不满足必要关系，故它们不可能是本页同一凸四边形对角线分出的四块面积。不能为了匹配图形随意调换面积的位置。

• 只知道 p=q：可推出 AO=OC，并推出 s=r；不能同时推出 BO=OD。若还知道 p=s，才能由另一组同高关系得到 BO=OD。
• 相等的是乘积：pr=qs，不是 p+r=q+s，也不是四块面积都相等。例题一有 p+r=24、q+s=21。
• 高不在图内也可比较：高度是到直线的距离；但 O 必须在本页规定的内部交点位置，才能直接使用上述正面积分组。

解题回顾：核对凸四边形与内部交点 → 固定 p、q、r、s 位置 → 找同高组 → 写面积比 → 用 pr=qs 或分组和求解 → 代回原条件检查。

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