分数比与应用题 · 方法讲解
先把公共量对齐，再把多个比连成同一套份数。
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甲、乙、丙有棋子共140枚，甲∶乙＝2∶3，乙∶丙＝4∶5。三人的棋子数量始终不变，分别有多少枚？先别拼接两个比，观察每组“1份”的大小。
第1步 / 共6步：两组不同的单位
甲∶乙＝2∶3；这一组的大份用绿色表示。
甲有2大份，乙有3大份。
乙∶丙＝4∶5；这一组的大份用暖棕色表示。
乙有4大份，丙有5大份。
两个乙一样多，两个“1大份”却不同。乙的3大份与4大份不能直接混用。
本题最终结论 · 140枚棋子
35总份数
乙的12份只写一次。
每份140÷35＝4枚，甲32枚、乙48枚、丙60枚。
条长表示同一种数量的相对大小；细分只改变份数单位，实际棋子数量不变。
比的基本性质、约分与扩比、最小公倍数、按比例分配。必须理解：比号两侧同时乘同一个非零数，比值不变；只乘一侧会改变关系。
S班指本项目教学深度，重点是多对象、多条件和复合公共量；不代表已核实的官方分班或六上课纲。本页例题、练习与视频情境均为自拟教学题。
甲∶乙＝2∶3，可写成甲＝2u、乙＝3u；乙∶丙＝4∶5，可写成乙＝4v、丙＝5v。u、v分别是两组各自的1份，不能默认u＝v。因为同一个乙满足3u＝4v，把u细分成4个新份、v细分成3个新份，就可用同一种小份计数。
份数变多，数量没有变多。例如乙实际有48枚，第一组1份是16枚，第二组1份是12枚；统一后每份都是4枚。乙仍然是48枚。
若正数量A、B、C满足A∶B＝a∶b、B∶C＝c∶d，其中a、b、c、d均为正数，那么第一组同时乘c，第二组同时乘b：
两组中B都对应bc份，所以每份所代表的数量相同。比项为正整数时，可将公共量的份数统一为最小公倍数，以减少计算；统一为任意公倍数也正确，最后可整组约分。若比中有分数，先在该组内同乘各分母的公倍数，再连接。
加入C∶D时，若需要把已得A∶B∶C扩大2倍，A、B、C必须整组同乘2。只改C会破坏前面的A∶B与B∶C。连接成功后，原来的每一条比都必须成立；若给出的额外条件相矛盾，应指出无解。
只有A∶B与C∶D这两组互不相连的比时，两组可以分别任意缩放，不能唯一确定四量连比。只有比例也不能求绝对数量，还需总量、差量或某个实际量作为尺度。
例题一 · 四量三条件
同一时刻，甲∶乙＝2∶3，乙∶丙＝4∶5，丙∶丁＝6∶7。四人共有420枚棋子，求各自数量。
完整核查：64∶96＝2∶3，96∶120＝4∶5，120∶140＝6∶7；64＋96＋120＋140＝420。三个比与总量全部满足。
这一题的总量为420枚，包含丁；前面三人140枚的演示是另一道题。相同份数结构不意味着两题实际量相同。
例题二 · S班结构变式：和也是公共量
甲、乙、丙、丁在同一时刻各有一些棋子，甲∶乙＝3∶2，（甲＋乙）∶丙＝5∶4，（乙＋丙）∶丁＝3∶2。已知丁比甲多20枚，求四人的数量。
完整核查：60∶40＝3∶2；（60＋40）∶80＝100∶80＝5∶4；（40＋80）∶80＝120∶80＝3∶2；80−60＝20。
公共量可以是一个量，也可以是相同定义的两个量之和。这里的“甲＋乙”不能误写成乙；最后给的是差量，要除以份数之差，不能除以总份数。
以下均为自拟题。先列统一份数表，再展开解析；不必把所有公共量一次统一到同一个数。
甲、乙、丙、丁共有530枚棋子。甲∶乙＝4∶7，乙∶丙＝6∶5，丙∶丁＝10∶9。求四人的数量。
先把乙的7份与6份统一为42份：甲乙比乘6得24∶42，乙丙比乘7得42∶35，因此甲∶乙∶丙＝24∶42∶35。
再把丙的35份与10份统一为70份：已有三量整组乘2，变成48∶84∶70；丙丁比乘7得70∶63。四量比为48∶84∶70∶63，共265份，每份530÷265＝2枚。
甲96枚、乙168枚、丙140枚、丁126枚。核查96∶168＝4∶7，168∶140＝6∶5，140∶126＝10∶9，四量相加530。
甲、乙、丙各有一些棋子。甲∶乙＝2∶5，（甲＋乙）∶丙＝7∶3，且乙比丙多18枚。求三人的数量。
设甲2份、乙5份，则甲＋乙为7份。与第二个条件对齐，丙为3份，得到甲∶乙∶丙＝2∶5∶3。
乙比丙多5−3＝2份，所以每份18÷2＝9枚。甲18枚、乙45枚、丙27枚。
核查18∶45＝2∶5，（18＋45）∶27＝63∶27＝7∶3，45−27＝18。三个条件全部成立。
若甲∶乙＝2∶3，乙∶丙＝4∶5，同时又说甲∶丙＝2∶3，能否找到一组正数量？
前两条推出甲∶乙∶丙＝8∶12∶15，因此甲∶丙必须是8∶15。8×3＝24，而15×2＝30，两比不相等。所以三条条件矛盾，无解。不能为凑出答案而忽略其中一条。
| 常见错误 | 修正依据 |
|---|---|
| 2∶3与4∶5直接拼成2∶3∶5 | 乙的3份与4份单位不同，先统一。 |
| 把乙3份改成12份，甲仍是2份 | 甲乙必须整组乘4，成为8∶12。 |
| 接丁时只把丙15改成30 | 已有甲乙丙整组乘2，成为16∶24∶30。 |
| 合并时乙的12份写两次 | 乙是同一个对象，只出现一次。 |
| 把（甲＋乙）∶丙当作乙∶丙 | 公共量的对象和表达式都要一致。 |
| 用20除以全部份数求例二每份 | 20是差量，除以丁与甲的份数差。 |
解题顺序：找同一公共量 → 统一份数 → 整组同倍扩比 → 合并并约分 → 用实际条件求每份 → 逐条代回。只要一个原条件不成立，就要回查连接过程或题目条件。
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甲与乙的比是二比三，乙与丙的比是四比五。三人共有一百四十枚棋子，怎样求各自数量？
两组比里的乙，是同一个实际数量。却一处写三份，一处写四份，说明两组的每份大小不同。
先把乙的份数统一。三和四的最小公倍数是十二，让两行的乙都占十二份。
甲乙这组同时乘四，变成八比十二。原来每一大份，细分成四个新份，实际数量没有改变。
乙丙这组同时乘三，变成十二比十五。乙同为十二份，就能用同一套小份来比较。
对齐两行的乙，合并得到甲比乙比丙，等于八比十二比十五。不能直接拼成二比三比五。
一共三十五份，每份一百四十除以三十五，等于四枚。甲三十二枚，乙四十八枚，丙六十枚。
再加条件，丙比丁等于六比七。把丙的十五份和六份统一为三十份，需要再次扩比。
已有的甲乙丙整组乘二，成为十六、二十四、三十；丙丁整组乘五，成为三十、三十五。
四量连比就是十六比二十四比三十比三十五。最后逐条代回；公共量必须是同一对象、同一状态。
本页通过比的基本性质推导，并用精确分数核对自拟例题。条长表示同一种数量的相对大小；不同组的大份采用不同标识；统一后的小份大小相同，不表示实物尺寸。默认讨论正数量与同一状态下的关系。
三人140枚与四人420枚属于不同题目。复合公共量、差量定尺度属于本页S班深化内容。