钟面指针的相对运动

一只准确的十二小时制时钟，两针同向、连续、匀速转动。从3点整开始，分别看第一次重合、第一次后续直角，以及两次直角之间的成一直线。

目标：能从转速推出相对速度，求重合、指定角和周期内次数，并检查时间区间的端点。前置：一周360°、钟面12大格、分数运算、速度×时间及简单方程。本页的S班深度是项目编排，不代表当地官方课纲。

• 十二小时钟面：分针60分钟一周，时针720分钟一周，均顺时针连续匀速。
• 时间 t 统一用分钟，角度统一用度；从12点方向顺时针计角。
• “小夹角”取0°至180°。重合为0°，垂直为90°，反向成一直线为180°。若只说“两针共线”，应同时考虑0°与180°。
• 现实跳针、走停、时钟不准会改变模型。快慢钟是误差累积变式，本页不将其混入指针相对运动。

1. 两针都移动，追近速度用差

分针角速度 ω分=360÷60=6°/分；时针角速度 ω时=360÷720=1/2°/分。因此分针相对时针每分钟增加6−1/2=11/2°。例如3点15分时，时针已经离开3点位置7.5°，两针并未重合。

2. 先写不取模的有向角差

设起点是 h 点整，h 为0至11的整数，t 为此后分钟数。分针累计转6t度，时针从30h度转到30h+t/2度。定义“分针角减时针角”为有向角差 D：

D 可为负，也可超过360°。相差一整圈仍指向同一方向，因此先保留 D，再减去适当的360°整数倍，得唯一余角差 r，满足0≤r<360。小夹角为min(r,360−r)。

3. 指定小夹角，要列全两个方向

由 D 的表达式求出每个分支的 t，再按时间范围筛选。不要预设每小时一定出现两次，也不要只解 D=α 而漏掉另一个方向。α=0或180时两分支重复，不能翻倍计数。

4. 相对周期与端点

P 是两针相对方向重复的周期；不是整个钟面两针同时回到原位置的周期。整个针位配置720分钟才重复一次。以12点整为起点，重合时刻 t=kP。在[0,720)内，0≤k<11，k=0至10，共11次；在[0,720]内，k=0至11，共12次；在(0,720)内，k=1至10，共10次。方括号含端点，圆括号不含端点。

12小时内，相对角差走11整圈。每个相对周期中，0<α<180的指定小夹角出现两次；重合与反向各一次。因此[0,720)内，垂直22次，重合11次，反向11次。该结论针对完整的11个周期，不能直接套任意短区间。

以下例题、练习均为自拟教学题，按理想连续匀速钟计算。

• 分针一圈≠相对一圈。60分钟内时针也前进30°，分针相对只前进330°，所以相对周期不是60分钟。
• 小夹角不是带符号的D。D=−60°与60°都对应60°；D=300°也对应60°。
• 时针不断走。“4点多”不能一直用120°作为时针位置，必须加上t/2。
• 精确分数先算完再换秒。分母11的分钟多数不是整数秒，不要用舍入值回代冒充精确相等。
• 共线需澄清含义。若题目允许同向和反向，应把重合与反向两类都计入；0°、180°不重复列两个分支。

统一起点与单位 → 写 D → 列整圈条件 → 求 t → 筛区间与端点 → 代回小夹角

模型给的是数学条件。动画用于观察，两针看似接近不能代替方程证明；钟面刻度或像素精度也不能证明精确重合。

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