数论与整数方法 · S班
阶乘分层数因子，末尾零按配方成组。
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25!=1×2×…×25。只看所有乘数贡献了多少个2和5，不计算巨大的乘积。
第1步 / 共5步：列出1到25
每格是一个乘数，还没有拆出质因数。
当前演示 · 25!
待统计
同一数可含多个5。25进入两层，是因为25=5×5；每一层取的是不同的一份5。
目标：能解释高次幂的额外贡献，处理阶乘商与进制变式。前置：质数、质因数分解、整除、整数除法；进制变式还需位值原理。本页S班为项目编排，不代表任何机构官方六上必学课纲。
非负整数n的阶乘写作n!，n≥1时为1到n的乘积，约定0!=1。对正整数N与质数p，vp(N)表示N中质因数p的个数，例如v5(125)=3。
⌊x⌋表示向下取整。超过n的幂开始贡献为0，因此只需有限项。p必须是质数。
第一层：p的倍数各拿出一个p，共⌊n/p⌋个。第二层：p²的倍数还有一个p可拿，共⌊n/p²⌋个。一个含有恰好a份p的乘数，会在前a层各被计一次，恰好贡献a个p。这里按“因子份数”计数，不能把25在第二层出现说成错误的重复计数。
因为10=2×5，恰有k个末尾零等价于10ᵏ整除N而10ᵏ⁺¹不整除N。对n!，每层⌊n/2ʲ⌋≥⌊n/5ʲ⌋，故2不会比5少，可以只数5。普通整数或一般商不能无条件只数5。
例题一 · 阶乘商（自拟）
指数相减源于乘积中质因数个数相加。这里减的是指数，不是把各阶乘的末尾零数随便相减；一般商的2和5都应核对。
例题二 · S班进制拓展（自拟）
一般底数b=p1a₁×p2a₂×…，b≥2，各pᵢ为互不相同的质数、各aᵢ为正整数，末尾零数为各⌊vpᵢ(N)/aᵢ⌋的最小值。必须先完成b的质因数分解；不同进制下的零数不同。
最小的非负整数n，使n!末尾至少有5个十进制零，是多少？有没有恰好5个零的阶乘？
24!中5的指数为⌊24/5⌋=4；25!中为5+1=6。n增大时因子只增加，零数不会减少。因此最小n为25。由于从4直接跳到6，且之后不再下降，不存在恰好5个零的阶乘。
关键在25一次新增两个5，不能把“至少5个”误当“恰好5个”。
整数M=50!÷10¹⁰，末尾有几个十进制零？
v₅(50!)=10+2=12；v₂(50!)=25+12+6+3+1=47，所以10¹⁰确实整除50!。除去10¹⁰后分别剩下12−10=2个5和47−10=37个2，取min(2,37)=2个零。
除法条件必须先核实；一般N÷D若不是整数，就不使用本页的整数末尾零定义。
20!写成十二进制，末尾有几个零？
v₂=10+5+2+1=18，可供9组；v₃=6+2=8，可供8组。最小为8。不能直接比较18与8而忽略每组需要两个2。
四步：确认整数与进制 → 按质数幂分层 → 商中减指数 → 按进制配方成组取最小。
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二十五的阶乘，是一到二十五的连乘。末尾有几个零，不必真的乘出这个大数。
五、十、十五、二十、二十五，先各贡献一个五，共五个。
二十五还有第二个五，所以还要再数一层。总共六个五；重复的是数，不是同一个因子。
一般地，数质数的贡献，要数它的倍数、平方的倍数，再数更高次幂的倍数，直到没有为止。
一个十需要一个二和一个五。二十五的阶乘有二十二个二、六个五，只能组成六对，末尾恰有六个零。
看二十五的阶乘除以十的阶乘与十五的阶乘。这个整数中，五的指数是六减二减三，等于一。
二的指数是二十二减八减十一，等于三。最少的一方只有一个，因此商的末尾只有一个零。
若写成十二进制，每个末尾零要消耗两个二和一个三。十的阶乘有八个二、四个三，能配成四组。
记住：阶乘分层数，整除先相减，末尾零按进制配方取最小。普通整数里，不能总认定五比二少。
数字格子表示1到25各个整数，不按大小缩放；圈与筹码表示独立的质因数份数。正文公式提供证明，动画仅帮助观察。公式核对依据为San Jose Math Circle讲义；本页同时提供独立推导，例题为自拟。数学核验记录保存在制作项目内。十二进制是进阶拓展，先掌握位值与质因数分解。