例题一｜同样的球，两种条件
8 个相同小球分给甲、乙、丙三个不同盒子，盒内顺序不计。分别求每盒至少一个、允许空盒时的分法数。
- 每盒至少一个。8 个球有 7 个内部空隙。从中选 2 个不同空隙放隔板，三段都非空。
- 计算。C(7,2)=7×6÷2=21 种。
- 允许空盒。把 8 个球和 2 块隔板排成 10 个符号位置，选 2 个位置放隔板，其余位置放球。
- 计算并检查。C(10,2)=10×9÷2=45 种。允许空盒扩大了范围，45 大于 21，符合条件变化。
排列组合 · 方法讲解
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隔板法
把分配，变成选位置。
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01
先判断条件，再选位置
8 个相同小球，分给甲、乙、丙 3 个不同盒子。
只改一个条件：每盒至少一个，还是允许空盒？
甲盒2
乙盒3
丙盒3
选的是球之间的空隙
21种
7 个空隙，选 2 个
C(7, 2) = 21
隔板只插在内部不同空隙，三段就都有球。
容易混淆：两种“位置”不一样
允许空盒时，隔板可以在两端，也可以相邻。只在 7 个内部空隙中选，会漏掉这些分法。此时应把 8 个球 + 2 块隔板一起看作 10 个符号位置。
02
学习准备
学习目标
- 把一组分配数量与隔板位置双向还原，说明为什么不重不漏。
- 区分“内部空隙”和“整串符号位置”，按是否允许空盒选公式。
- 先满足每盒的最低数量，再分配剩余物品。
必要前置
理解有序数量组，以及组合数 C(a,b)：从 a 个不同位置中选 b 个，不计选取顺序。例如 C(7,2)=7×6÷2=21；除以 2 是因为同一对位置被先后数了两次。
本页不预设年级或机构课程体系；先掌握基础对应，再学习下限变式。
03
把例子推广成通式
n 个相同物品，分给 k 个不同盒子；需要 k − 1 块隔板。
为什么这种对应不重不漏？
每种分配都可写成有序数量组 (a,b,c)，三项依次属于甲、乙、丙。把 a 个球、隔板、b 个球、隔板、c 个球依次排好，就得到唯一的符号串。反过来，数出每段的球数，就能还原原来的数量组。
例如 (2,3,3) 对应“●●｜●●●｜●●●”。隔板不贴标签，不能交换两块隔板再算一次；三段从左到右的次序已经区分了盒子。
至少一个时，只能在不同内部空隙插板；允许零时，相邻隔板或两端隔板表示空盒。两种规则分别覆盖各自的全部分法。
每盒至少一个
C(n − 1, k − 1)
从 n − 1 个内部空隙中，选 k − 1 个。
前提：n ≥ k ≥ 1；n < k 时为 0 种。
允许空盒
C(n + k − 1, k − 1)
从 n + k − 1 个符号位置中，选隔板的位置。
前提：n ≥ 0，k ≥ 1。
物品相同盒子可区分盒内顺序不计
n、k 均取整数。C(a,b) 表示从 a 个不同位置中选 b 个，不考虑选取顺序。物品可区分、盒子不可区分或每盒有容量上限时，需要另行分析。
04
两道完整例题
例题二｜先满足不同的最低数量
10 个相同小球分给甲、乙、丙三个不同盒子，盒内顺序不计。甲至少 2 个、乙至少 1 个、丙至少 3 个，有多少种分法？
- 先预留。给三盒分别预留 2、1、3 个，共 6 个，剩余 4 个。
- 改写条件。令 a′=a−2、b′=b−1、c′=c−3，则 a′、b′、c′ 都是非负整数，且 a′+b′+c′=4。
- 分配余量。把 4 个相同小球分给 3 个不同盒子，允许空盒，共 C(4+3−1,3−1)=C(6,2)=15 种。
- 检查可逆。每个余量组加回 (2,1,3)，恰好还原一组合法分配，没有遗漏或重复。若最低数量之和超过总数，则无解。
05
迁移练习
6 个相同小球分给 3 个不同盒子，允许空盒。有多少种分法？
练习一解析｜6 个球，允许空盒
查看完整解析
6 个球加 2 块隔板，共 8 个符号位置。选 2 个位置放隔板：C(8,2)=8×7÷2=28 种。C(5,2)=10 对应每盒至少一个；3⁶ 则把球当成了可区分物品。
练习二｜每盒至少两个
9 个相同小球分给甲、乙、丙三个不同盒子，盒内顺序不计，每盒至少 2 个。有多少种分法？
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先各放 2 个，剩下 9−3×2=3 个，允许任意盒子分到零个余量。分法数为 C(3+3−1,3−1)=C(5,2)=10 种。每种余量分配加回每盒预留的 2 个，唯一对应一种原分配。
06
易错与回顾
- 球有编号时不能直接套公式。本页只数各盒数量，不区分同盒中具体是哪几个球。
- 盒子不同，数量次序就重要。(2,3,3) 与 (3,2,3) 是不同分配，不能再除以 3!。
- 允许空盒不能只选内部空隙。相邻隔板和两端隔板都要计入。
- 容量上限需要另行分析。先减下限可以处理最低数量，但不能自动保证每盒不超过上限。
解题顺序：检查物品与盒子 → 处理最低数量 → 判断是否允许零 → 建立对应 → 选择位置并计算。
边界：只有一个盒子时，只要条件允许就有 1 种；没有球且允许空盒时有 1 种（全部为空）。每盒至少一个且 n<k 时为 0 种；n=k=1 时也有 1 种，对应 C(0,0)=1。
07
逐章回看
点击章节标题，定位到视频中的对应讲解。
八个相同的小球，分给甲、乙、丙三个不同的盒子。如果每盒至少一个，有多少种分法？
先把小球排成一行，插入两块隔板。三段依次属于甲、乙、丙。比如二、三、三，就是一种分法。
八个球之间，只有七个内部空隙。选择两个不同的空隙插入隔板，就能保证三盒都不为空。
每组隔板位置，对应唯一一种分配；每种分配，也能还原唯一的位置。所以七选二，共二十一种。
如果允许空盒呢？隔板可以放在最左或最右，也可以紧挨着。没有小球的那一段，就代表空盒。
现在改数整串的符号位置：八个球，加两块隔板，一共十个位置。选出两个放隔板，十选二，共四十五种。
推广到 n 个相同物品、k 个不同盒子：至少一个，C(n−1, k−1)；允许为空，C(n+k−1, k−1)。
隔板法的关键，是把分配变成选位置。使用前先问：物品相同吗？盒子可区分吗？每盒允许为零吗？