分数比与应用题 · 方法讲解
先找没变的量，再把前后的份数对齐。
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甲、乙原有图书数量比为4∶7。两人各增加15本后，数量比变成3∶5。原来各有多少本？如果增加后甲再转15本给乙，最后两人的数量比是多少？以下题目均为本页自拟教学题。
逐步对齐差量，再追踪转移
第1步 / 共6步：原来4∶7
先找关系：原来乙比甲多3份。每份有多少本还不知道。
本题的两个阶段
120 / 210
右侧结果对应上方完整图书题。第一阶段同加15本，差量保持90本；第二阶段内部转移，总量保持360本。
最终比：120∶240 = 1∶2
图中先用比的份数；对齐后每小格为15本。对齐前的两套“一份”不代表相同本数。
比的基本性质、约分与通分、分数四则运算；理解“3∶5”表示甲占3份、乙占5份，而不是甲有3、乙有5。
S班表示本项目的教学深度，重点是隐藏差量与多阶段结构；不代表已核实的当地官方分班或学期课纲。
设同类正数量为A、B。A∶B=a∶b，表示存在正数u，使A=au、B=bu。本页用B−A表示有方向的差；若题目用“多多少”的非负差，须先确认谁大，大小关系反转时要重新判断。比的一份是一个数量单位u；变化后的新比往往用另一个单位v。直接把前后比的数字相减，相当于把不同长度的尺子混用。
| 动作与条件 | 不变的量 | 对齐的份数 |
|---|---|---|
| 甲给乙t，过程无外部增减 | (A−t)+(B+t)=A+B | 总份数a+b |
| 甲乙同时各加c，或各减c | (B+c)−(A+c)=B−A | 差份数b−a |
| 只有甲增加或减少，乙不动 | B保持原值 | 乙对应的份数b |
例如总量固定时，可用甲占总量的分率A/(A+B)比较前后；乙固定时，可用A/B比较。当B>A且差量固定时，将差份数统一为同一个正数D，前后每小份都等于固定差量÷D，因此才能直接比较各方份数的增减。
原比4∶7的差为3原份；新比3∶5的差为2新份。同加15本，使实际差量不变，于是3u=2v。把原比乘2得8∶14，把新比乘3得9∶15。此时6个旧小份与6个新小份都等于同一个差，所以旧小份=新小份。
这里w表示统一后的一小份，不是原比中一大份u，也不是新比中一大份v。实际上u=2w=30本，v=3w=45本。两种原始的一份并不相同。
例题一 · 隐藏差量与多阶段变化
甲乙原有图书数量比4∶7。两人各增加15本后变为3∶5。求原有数量，以及随后甲转15本给乙后的比。
代数复核：设原甲4x，乙7x。5(4x+15)=3(7x+15)，得x=30，原量120与210。转移时差量增加2×15=30，原因是一方减15、另一方增15。
例题二 · 总量不变
两桶水，甲∶乙原为2∶3。从乙向甲倒20升，过程中没有损耗，倒后甲∶乙变成3∶2。求原来两桶各有多少升水。
分率法也可复核：甲占总量由2/5变成3/5，增加总量的1/5，所以总量=20÷(3/5−2/5)=100升。没有损耗是总量不变的必要条件。
例题三 · 一方不变
甲乙原有图书比为4∶5。乙不变，甲增加24本后，甲∶乙变成4∶3。求原来甲乙各有多少本。
前后比都出现“甲4份”，并不表示甲不变。真实动作明确说乙不变，应对齐乙，而不是把两个4直接当成相同数量。
先写“哪一个量在这一阶段保持不变”，再写前后份数。练习均为自拟题。
甲乙两袋糖原来的质量比为2∶3。从乙袋取18克放入甲袋，无损耗，此后甲∶乙变成3∶2。求原来两袋各多少克。
总质量不变。甲占总量由2/5变3/5，增加1/5，故总质量18÷(1/5)=90克。原甲90×2/5=36克，原乙90×3/5=54克。
核查转移后甲54克、乙36克，比3∶2；总质量仍90克。不能用54−36=18误称“总差变化18”，因为原差乙−甲=18，末差乙−甲=−18，有方向的差改变了−36。
甲乙原有图书数量比5∶7，两人各捐出10本后，剩余数量比2∶3。求原有数量。随后乙又买20本、甲不变，最后甲∶乙是多少？
第一阶段同减10本，差量不变。原比5∶7差2份；新比2∶3扩成4∶6也差2份。原甲5份减至4份，1份就是10本。因此原甲50本，原乙70本。
各捐后40∶60=2∶3。第二阶段甲保持40本，乙60+20=80本，最终40∶80=1∶2。这时差量从20变40，不再不变，总量也增加了20。
若仍沿用同减阶段的“差量20”计算第二阶段，会把动作条件混淆。多阶段题每次变化后都应更新数量表。
只说“甲乙比为3∶5”，是否能断言甲3本、乙5本？
不能。3与5、30与50、60与100都满足3∶5。比只确定相对关系。要确定实际本数，还需要总量、差量、某方量或已知增减量等条件。
| 常见误判 | 修正方法 |
|---|---|
| 前后比的“一份”自动相等 | 先对齐同一个不变量对应的份数，再比较。 |
| 两人各加15，总量也不变 | 总量增加30；差量不变。 |
| 甲给乙15，差量只变15 | 甲减15、乙增15，有方向的乙−甲增加30。 |
| 只看比中哪个数相同就定不变量 | 动作确定实际不变量，比的数字只是份数。 |
| 连续多次操作沿用第一个不变量 | 逐阶段列量表；同加后再转移，需要切换锚点。 |
解题顺序：读清动作 → 找实际不变量 → 对齐它的份数 → 用实际增减量求每份 → 还原数量 → 按全过程代回核查。若无法找到三类锚点，不强行套用；可根据具体变化列方程。
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甲乙原有图书比为四比七。各增加十五本后，变成三比五。
求原来各有多少本，再看甲转十五本给乙后的比。
两边同加十五，乙比甲多的本数不变。
但原比差三份，新比差两份，两种一份不能直接相等。
把差统一成六份。原比乘二，变成八比十四。
新比乘三，变成九比十五。六份对应同一个差，单位就相同。
甲从八份变九份，增加的一小份就是十五本。
所以原来甲有一百二十本，乙有二百一十本。
增加后是甲一百三十五，乙二百二十五。甲再转十五本给乙。
现在总量三百六十不变，变成一百二十比二百四十，也就是一比二。
转移时，差量会增加两倍转移量，不能沿用上一阶段的不变量。
每一阶段重新问：总量、差量、还是一方不变？先统一不变的份数，再计算。
本页例题与练习全部自拟，依据比的基本性质及加减法恒等式推导；算术结果已用精确分数核对。图中格子表示份数，统一单位前不能跨组直接比较格长；主例题统一单位后每小格为15本。转移箭头只表示物品归属改变，不表示产生或损失。
范围包含总量不变、差量不变和单方量不变；多阶段题逐段重新判断。A/S仅为项目教学深度，不据此认定官方课纲。