数论与整数方法 · 方法讲解

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余数与同余法

去掉完整的组，只追踪余下的部分。

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01

17＋12，为什么只需算2＋2？

把17个点与12个点合并，每5个一组，求总数除以5的余数。方块中的“5”是一整组，圈出的数字表示剩余点数，不表示面积。

第1步 / 共4步：分别分组

17个点

5552

12个点

552

17=5×3＋2，12=5×2＋2。

当前演示：17＋12模5

各余2

完整的5不改变余数

先看清17与12的分组，不把“余数相同”误解成“原数相等”。

正文中的大数与幂使用同一原则，但不能由这个演示直接推得它们的答案。

02

同余的依据，是差的整除性

学习目标

解释同余，正确进行余数加减乘；证明一个具体幂余数的周期；用余数排除和定位整数，并识别除法陷阱。

必要前置与范围

整数除法、整除、乘方、最小公倍数。本页将同余符号作为S班能力拓展；A/S为项目编排，不表示当地官方六上必学。

标准余数与同余

对整数 a 和正整数模数 m（本页 m≥2），存在唯一整数 q、r，使 a=mq＋r 且 0≤r<m。r称为标准余数，q是商。例如−1=5×(−1)＋4，所以−1除以5的标准余数是4。

a ≡ b (mod m) ⇔ m 整除 a−b

读作“a与b模m同余”。它等价于两数除以m的标准余数相同。符号“≡”不等于“=”：17≡12 (mod 5)，但17≠12。虽然可以写−1≡4 (mod 5)，题目要求余数时应答4。

为什么可以加、减、乘？

若 a=mu＋r、b=mv＋s，则 a＋b=m(u＋v)＋(r＋s)，a−b=m(u−v)＋(r−s)，ab=m(muv＋us＋vr)＋rs。括号中的整数乘以m都能整组去掉，因此：

a±b ≡ r±s (mod m)
ab ≡ rs (mod m)

中间结果还要再次取标准余数。例如4＋3≡2 (mod 5)，2−3≡−1≡4 (mod 5)。连续乘法同理，所以正整数次幂也可逐次取余。所有替换必须使用同一个模数。

03

完整例题：运算、周期与定位

例题一 · 和积求余

求2026²＋2025×2027除以7的余数

  1. 2026=7×289＋3，2025=7×289＋2，2027=7×289＋4。
  2. 同模替换：原式≡3²＋2×4=17≡3 (mod 7)。
  3. 3在0至6之间，所以标准余数是3。

核对：2025×2027=(2026−1)(2026＋1)=2026²−1；总式为2×2026²−1，模7为2×9−1=17，结论一致。

例题二 · S班幂的周期

求3²⁰²⁶除以7的余数

  1. 从3¹开始逐次乘3再取余：3、2、6、4、5、1。分别对应指数1、2、3、4、5、6。
  2. 第六步余1，即3⁶≡1 (mod 7)。此后再乘3，重复同一过程。因此每6步重复；这里前六项互不相同，最小正周期确为6。
  3. 2026=6×337＋4，所以3²⁰²⁶=(3⁶)³³⁷×3⁴≡1×4≡4 (mod 7)。答案为4。

指数除以周期所得的余数是4，因此取第四格。若指数是6的倍数，应取第六格的余数1，不能凭“余0”回答0。也不能因模数为7，就猜周期是7。

什么时候能用周期？

必须有重复状态及相同的后续运算作为依据。幂模m时，下一个余数由当前余数乘固定底数再取余唯一决定；一旦状态重现，后续重复。可能先有不循环的部分，例如2的正整数次幂模8为2、4、0、0、…，不能从第一项硬套纯周期。本页例题已证明从第一项开始每6步重复。

例题三 · 余数排除与定位

100到160的整数中，除以7余3、除以5余1的数有哪些？

  1. 先列除以7余3的候选：101、108、115、122、129、136、143、150、157。下一项164越界。
  2. 逐个除以5，余数依次为1、3、0、2、4、1、3、0、2。保留101、136。
  3. 证明不漏：任意两个合格数的差同时是7和5的倍数，必为最小公倍数35的倍数。101加35得136，再加35得171超界；101减35得66低于范围。

这不是“余数较小就原数较小”。同余用来把整数分成候选类，最后仍需检查题目的范围。

04

边界反例：不能直接除

2≡8 (mod 6)，因为8−2=6。但同时除以2以后，1与4的差为3，不能被6整除，所以1不与4模6同余。

若 cA≡cB (mod m)，只能知道m整除c(A−B)。当公因数 c 本身整除 m 时，可把两边与模数同时除以c，得到 A≡B (mod m/c)。本例应为1≡4 (mod 3)。

另一种保留模数的充分条件：c与m互质（最大公因数为1），此时由m整除c(A−B)可推出m整除A−B。这依赖互质整除性质，不是普通小数除法。本页先掌握反例与“检查条件”，不把模逆元作为必需前置。

05

迁移练习

本页例题与练习均为自拟教学题。先写模数与依据，再展开答案。

练习一 · 周期从哪里开始？

求2¹⁰⁰除以7的标准余数，并说明周期依据。

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2¹、2²、2³模7依次余2、4、1。2³≡1 (mod 7)，因此每3步重复。100=3×33＋1，2¹⁰⁰=(2³)³³×2≡2 (mod 7)。答案为2。这里周期是3；不能沿用例题的周期6，更不能以模数7当周期。

练习二 · 不互质模数的定位

1到50的整数中，除以6余4、除以4余2的数有哪些？为什么不用6×4作相邻解间距？

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除以6余4的候选为4、10、16、22、28、34、40、46。再筛选除以4余2，得到10、22、34、46。

合格数的差必须同时被6与4整除，最小公倍数为12，所以相邻解相差12；不是乘积24。10＋12k在范围内取k=0、1、2、3。反过来加12保持两个余数，且任何合格数与10之差为12的倍数，故不重不漏。

再看不相容的条件：若除以6余4、除以4余1，前者要求偶数，后者要求奇数，无解。多个余数条件不保证一定存在解。

06

易错与回顾

错误做法核查方法
把同余写成原数相等同余只保证差能被模数整除。
把−1或17当模5的最终余数标准余数必须在0至4之间。
套模数作为幂的周期逐步计算并证明状态重复，注意循环前缀。
指数余0便答0对应完整周期的最后一格。
同余两边直接除，模数不变先检查互质等条件，或同步改变模数。
两个余数条件总有解先检查相容性，再检查范围和解间距。

解题路线：固定模数 → 去掉整组 → 加减乘后归一 → 周期先证明 → 除法查条件 → 候选回到原题核验。

07

逐章回看

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十七个点，每五个圈成一组，剩两个。十二个点也剩两个。它们相差五，模五同余。

同余表示差是模数的整数倍。标准余数从零到模数减一，不能把同余符号当成相等。

把两排点合起来，整组仍能去掉。只合并两个余数，二加二得四，所以十七加十二除以五余四。

同一个模数下，加减乘都能先换成余数。减出负数时要再归一，例如负一模五的标准余数是四。

看三的幂除以七的余数。每次乘三，依次得到三、二、六、四、五、一，再乘三就回到三。

因为回到一，后面的乘法过程每六步重复。二千零二十六等于六乘三百三十七加四，所以对应第四格，余四。

除法要小心。二和八模六同余，同时除以二，得到一和四，模六却不同余。原来的结论不能直接照搬。

因为二乘差能被六整除，只能推出差被三整除。本例约去二，要把模数改为三。先证明条件，再用周期或约分。