经济问题 · 分段与比较
先按规则划出区间，再比较同一需求下的最低总费用。
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自拟演示：阶梯甲方案前10单位每单位3元，超出部分每单位2元；乙方案固定8元，另按每单位2元。用12单位，分别付多少？商品演示使用下文例题二：每支10元，至少买够指定支数，允许多拿；甲付3赠1，乙单笔满100减25，二者不能叠加。
第1步 / 共4步：确认需求与规则
需求：12单位。甲前10单位每单位3元，超出部分2元；乙固定8元加每单位2元。乙即使用量为0，也收固定8元。
当前：阶梯12单位
甲的2元单价只用于第11、12单位。
演示使用整数用量。固定费与用量费分别计算；图中格子表示单位数量。
整数四则运算、用字母表示数量、比较大小和简单不等式。符号⌊u⌋表示不超过u的最大整数，例如⌊8÷3⌋=2；⌈u⌉表示不小于u的最小整数。
S班为本项目教学深度编排，不代表任何机构已核实的官方课纲。本页所有收费、满减和赠送条件均为自拟数学规则，不对应真实商业政策。
设用量x≥0。若前a单位每单位p元，超出部分每单位q元，则费用为：x≤a时C(x)=px；x>a时C(x)=pa＋q(x−a)。pa是已经完成的第一段账单，不能再按q重新计算。本题不另取整或四舍五入；主例与演示用整数单位，公式也适用于可连续计量且按同样规则收费的用量。
“满a单位后全部按q元”会是另一种规则，公式是qx，不能与分段累加混淆。比较两个方案时，取双方所有门槛，把数轴切成共同适用的区间，在每个区间内分别相减。
原价金额m满100减25一次：m<100时付款m；m≥100时付款m−25。99元尚不减，100元就付75元。这是自拟规则中真实的向下跳变，不能用一条直线覆盖两侧。满200也只减25，不自动减50。
若允许多买，每个方案的比较对象是拿到至少n件所需的最低费用，不是机械地都只买n件。买赠中的付费件数必须为整数；凑门槛后获得的多余商品可以拿走，但不能凭空退货或折现。未说明可叠加时，本页明确规定两方案不能叠加。
统一步骤：明确目标与单位 → 列清门槛、等号归属和叠加规则 → 分段列费用 → 求整数可行的最低费用 → 比较并检查门槛两侧。
例题一 · 阶梯计费与等价点
甲前10单位每单位3元，超出部分每单位2元；乙固定8元，另每单位2元。用量x为非负整数，乙在x=0时也收8元，甲无固定费。所有费用按上述规则精确计算，无额外收费。
门槛x=10：A=30，超出部分为0；x=11：A=32。不能把11单位全部乘2得到22元。等价点必须按其所在区间的公式检验。
例题二 · S班结构变式：买赠、满减与允许多买
n为正整数，铅笔不可拆分，允许多拿。只能选一种方案：甲每支付3支的钱赠1支，可重复赠；赠品同款且不再参与赠送，不兑换现金。乙所有购买支数按每支10元计算原价，单笔原价满100元减25元，只减一次。没有其他优惠、运费或额外限制。
付q支的钱得到q＋⌊q÷3⌋支。要取满足q＋⌊q÷3⌋≥n的最小非负整数q。把n写成4a＋r，a=⌊n÷4⌋，r为0、1、2、3：每4支用“付3赠1”，余下r支再付r支的钱；r=3时还会多赠1支，但允许多拿。因此最少付费支数为
核查最少性：当r=0时，少付一支只能得到4a−2支；r=1、2、3时少付一支分别只能得到4a、4a＋1、4a＋2支，都不足n。这也说明不能把所有n直接乘3/4元后付款，付费件数必须向上取整。
若n≤9，不满门槛时最少只买n支，花10n元；达到门槛的最便宜办法是买10支，付100−25=75元，再多买只会加钱。两者取小。若n≥10，买n支已经达标，再多买不再多减，最低费用是10n−25。
| 需求n | 乙的选择 | 最低费用B(n) |
|---|---|---|
| 1～7 | 买n支，不凑单 | 10n元 |
| 8、9 | 买到10支 | 75元 |
| ≥10 | 买n支，减25一次 | 10n−25元 |
| 需求n | 比较依据 | 结论 |
|---|---|---|
| 1～3 | 甲、乙都付10n元；n=3时甲多得1支 | 费用相同 |
| 4～7 | 甲至少省1支的钱；乙不凑单 | 甲便宜 |
| 8、9 | 甲分别60、70元，乙75元 | 甲便宜 |
| 10、11 | 甲80、90元；乙75、85元 | 乙便宜5元 |
| ≥12 | A−B=25−10⌊n÷4⌋≤−5 | 甲便宜 |
核对反转：n=10，甲付8赠2，80元；乙75元。n=12，甲付9赠3，90元；乙95元。不能因买赠“大约七五折”或满减“正好七五折”，就认定某方案永远最省。
以下均为自拟题，规则只用于数学训练。
甲前8单位每单位4元，超出部分每单位3元；乙固定12元，另每单位3元。用量x为非负整数，不另取整。有人用4x=12＋3x求得x=12，认为12单位同价。他对吗？比较所有用量，并算19单位的费用。
不对。4x只适用于0≤x≤8，解出的12不在适用区间。第一段A−B=4x−(12＋3x)=x−12≤−4，所以甲便宜。第二段x>8，A=32＋3(x−8)=3x＋8，B=3x＋12，甲恒便宜4元。
因此所有非负整数用量均甲便宜，不存在等价点。19单位时甲32＋11×3=65元，乙12＋19×3=69元。在12单位时甲44元、乙48元，直接检验就能发现错误。
沿用例题二的完整买赠与满减规则，至少要7支与至少要13支时，各方案最低多少元，选哪种？允许多拿、不能叠加、乙只减一次。
至少7支：甲q=7−⌊7÷4⌋=6，付60元，实际得到6＋2=8支。少付一支只能得到5＋1=6支，不足7。乙买7支付70元；买到10支需75元，所以乙最低70元。甲省10元。
至少13支：甲q=13−⌊13÷4⌋=10，付100元，得到10＋3=13支。乙买13支达门槛，130−25=105元；再买不会增加减免。甲省5元。“至少”允许甲在第一问多拿1支，若条件变成恰好得到7支且不能丢弃或拒绝赠品，必须重新解释可行方案。
例题二中，付8支的钱赠2支，能再按“原价10支共100元”满减25，付款55元吗？
不能。题目明确二者不叠加；甲方案的80元不能再次进入乙方案。即使另一个题目允许叠加，也必须明确满减门槛按付费商品原价、赠前数量还是折后金额判断。未写清时不能自行假定。本题至少10支的最优费用仍为乙的75元。
| 常见误区 | 检查方式 |
|---|---|
| 超过门槛后全部套低单价 | 是“超出部分”还是“全部变价”？本页阶梯规则只改超出部分。 |
| 算出交点就接受 | 把交点代回它所在区间的两条实际费用公式。 |
| 买赠直接当固定折扣 | 付费件数和赠送次数必须为整数；赠品不再次参与赠送。 |
| 把满100减25理解成每满100减25 | 本题仅减一次；200元仍付175元。 |
| 只比较恰买n件的账单 | “至少、允许多买”时，还要检查主动到门槛的最低费用。 |
| 先选最大优惠比例 | 比较相同需求下实际可行的最低总付款。 |
带走的方法：先读规则，分段列式；等号归属说清楚；整数条件不省略；门槛前后都检查；每个方案先求自己的最低费用，再在同一需求下比较。
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甲方案前十单位每单位三元，超出部分每单位两元。用十二单位，先付三十，再付四，共三十四元。
乙方案固定八元，再按每单位两元收费。十单位以内，两方案在八单位时相等。
超过十单位，甲是两倍用量加十，乙是两倍用量加八。乙始终便宜两元。
再看整支铅笔，每支十元，至少买够指定支数，允许多拿。两种优惠不能叠加。
甲每付三支赠一支，可重复赠，赠品不再参与赠送。乙单笔满一百减二十五，只减一次。
至少十支，甲付八支的钱，赠两支，共八十元。乙买十支，付七十五元，乙更便宜。
至少十二支，甲付九支，赠三支，付九十元。乙付九十五元，这次甲更便宜。
至少八支时，乙可以主动买到十支，付七十五元，比买八支的八十元少。
但甲付六支赠两支，只要六十元。先算各方案的最低费用，再比较，不能只看折扣。
所有例题为本页自拟，数学结论由分段推导、整数最小性证明与独立精确计算复核。图中格子表示数量，费用线表示上述自拟函数，不代表真实商品尺寸或商业政策。规则若变为恰好购买、可退货、每满减或可叠加，须重新建模。