立体几何与空间模型
数界面，再乘二：新露出就加，贴合后就减。
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一个长8厘米、宽6厘米、高4厘米的实心长方体，沿长的中点作垂直于长的平面切割，再沿宽的中点把两块都切开。把得到的4块全部分离，它们的表面积之和比原来增加多少？
第1步 / 共4步：原表面积
当前：8×6×4厘米长方体切割
208 平方厘米
原表面积2×(8×6＋8×4＋6×4)=208。点击下一步，逐次记录新露出的面。
金色表示新切面或接触区域；相对的另一张面可能被遮住，仍须计数。画面是透视示意，不据此量长度。
学习目标：用界面配对解释单刀、多刀、错位拼接与反推，不把刀数、碎块数、可见面数混为一谈。必要前置是长方体表面积、长方形面积、面积单位及简单方程。本页是S班能力深化；A/S为项目教学深度编排，不代表官方课纲，也不限定为六上必学。
长、宽、高为 a、b、c 的长方体有3对相同的长方形面，所以 S₀=2(ab＋ac＋bc)。表面积计算所有外露面，包括背面、底面。切开后“总表面积”指把各块分离后逐块求表面积再相加，不是把切后仍贴紧的一堆当成一整块。
S后 = S前＋2A
用一个平面切开实心体、把两侧分离。设该次所有截面片的面积之和为 A。截面每个小区域在两侧各出现一次，新增2A。原来外表面仅被分割，面积总和不变，所以公式成立。
S后 = ΣS各块−2C
C 是每个两块之间的实际接触区域面积之和，每个界面只记一次。贴合区域在两块表面积中原来各算一次，拼后都不外露，因此减2C。没接触的区域不能扣除。
设先后切开的截面面积和为 A₁、A₂、…，每次切开并分离后新增2Aᵢ。累加得到 ΔS=2(A₁＋A₂＋…)。交叉切面的交线只有长度，没有面积，不用再扣一块“重合面”。后切的一整片截面可能被之前的切割分成多片；片数改变，面积和不变。
沿长、宽、高分别分成 m、n、p 段：
ΔS=2[(m−1)bc＋(n−1)ac＋(p−1)ab]
这里 a、b、c 是原长方体长宽高，m、n、p 是正整数。切面分别垂直于三条棱并贯穿原长方体，全部小块最后分离。每一方向有“段数−1”个完整界面。不要求每段等长；只要每个平面贯穿对应截面，面积就相同。若仅局部切开，需按实际截面片面积重新相加。
例题一 · 多方向切割（自拟）
条件与上方切割演示一致：8×6×4厘米实心长方体，沿长中点、宽中点各作一个贯穿全体的平面切割，得到4块并全部分离。求总表面积及增加量。
独立核查：每块是4×3×4，表面积2×(12＋16＋12)=80；4块合计4×80=320。这里第三条中的“两片”是同一切面的一侧分片，还要计算两侧；不要看到两片就认为已经乘过2。
例题二 · 部分面拼接（自拟）
两个棱长2厘米的正方体，棱互相平行。第一块底部高度为0，第二块底部高度为1厘米；它们在水平方向相邻，沿一对侧面贴合，另一水平方向完全对齐。求拼成整体后的表面积，计所有未贴合面。
第二块抬高后形成的台阶表面仍外露，不能删除。若完全对齐贴合，C=4，表面积为40；若仅沿边相碰，C=0，表面积仍48。相同块数、相同体积，不决定同一个表面积。
例题三 · S班反推（自拟）
一个实心正方体沿同一方向，用两个互相平行、都贯穿全体的平面切成三层，把三层全部分离，表面积增加100平方厘米。求原正方体的棱长、原表面积及切后的总表面积。
三层不必等厚：截面仍为5×5。反推依赖已知切法；若只说“切两刀”，两刀倾斜或只切其中一块，截面可能不同，不能直接写4a²。
以下均为自拟题。先画接触或截面，再列增减账。
9×6×3厘米的实心长方体，沿长方向等分3段、宽方向等分2段，高方向不切，得到6个小块并全部分离。求增加的表面积与总表面积。
沿长分3段，需要2个垂直于长的完整切面，每个6×3=18；沿宽分2段，需要1个垂直于宽的切面，面积9×3=27。截面面积和2×18＋27=63，增量2×63=126平方厘米。
原表面积2×(54＋27＋18)=198，总表面积198＋126=324平方厘米。独立核对：每块为3×3×3，6块表面积合计6×6×9=324。6块不是6个界面，不能用6乘任意一个截面面积。
两个棱长3厘米的正方体，棱平行，沿侧面贴合；一水平方向完全对齐，只在高度方向错开 h 厘米，且0≤h<3。拼后表面积为96平方厘米。求接触面积与 h。
两块原表面积之和2×6×3²=108。减少108−96=12，是两边接触面的总面积，所以单个界面面积 C=12÷2=6平方厘米。
接触宽3，重合高度3−h，故3(3−h)=6。先得重合高度2，再得 h=3−2=1厘米，满足0≤h<3。核对：108−2×(3×2)=96。若未给出“仅高度错开、另一方向完全对齐”，只知接触面积6无法唯一确定错位方式。
同一个长方体8×6×4，第一种切法垂直于长切一刀，第二种垂直于高切一刀，都分离。两次各只切一刀，增加量相同吗？
不相同。第一种截面6×4=24，增加48；第二种截面8×6=48，增加96。必须知道截面面积与是否全部分离。“每刀增加两面”只是数量关系，不代表每张面面积相同。
解题顺序：确定要计的表面 → 标出每个截面或接触区域 → 只计一次界面面积 → 乘2做增减 → 用小块表面积相加独立核查。体积不变只能证明材料守恒，不能证明表面积不变。
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长八、宽六、高四厘米的长方体，原表面积是二百零八平方厘米。
垂直长切一刀，截面是六乘四。拉开后，两边各露出一张新面。所以表面积增加两倍二十四，也就是四十八平方厘米。原有外表面没有减少。
再沿宽的中点切开两块。两块的截面合起来，仍是八乘四。这一轮增加两倍三十二。全部分离后，总表面积是二百零八加一百一十二，得三百二十。
拼接时反过来想。两个棱长二厘米的正方体，原来合计四十八平方厘米。把一块抬高一厘米，沿侧面贴合。接触区域是二乘一，两边各少这一块。所以拼接后表面积是四十八减四，得四十四。只减一张面，会多算。
反推也要先数重数。正方体沿同一方向切两刀，分成三层，再全部拉开。若表面积增加一百平方厘米，就有四个新正方形，每个面积二十五，棱长五厘米。关键不是碎块数，而是新露出或被遮住的界面面积。图形示意不代替配对计数。