百分比 · 方法讲解
每次变化先找基准，再把倍率连乘；比较盈亏时回到同一成本。
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某商品原价100元，先涨价20%，再按涨后价格降价20%。不计费用与取整，最后价格是多少？整体涨跌多少？下面的三种模式分别展示连续涨跌、恢复原价、加价打折，所有题目均为自拟。
100元先涨20%，再按涨后价降20%。
第1步 / 共4步：原价100元是第一次基准。
条形共用同一金额尺度；颜色与“当前基准”文字共同标记比较对象。每条满尺度为300元。
先找第一次基准
100元
涨20%指增加原价的20%，应先算100×1.2。
会计算分数与百分数，例如20%=1/5、八折=80%。会用“比较量÷基准量”求比值，理解单位“1”的转换。需要倒推时，会解一元一次方程或用除法还原。
本页S班为项目的教学编排，不代表任何地区或机构官方课纲。
| 概念 | 计算规则 | 基准 |
|---|---|---|
| 利润 | 售价−成本 | 金额，不是百分比 |
| 利润率 | 利润÷成本 | 成本 |
| 折扣倍率 | 售价÷标价 | 标价 |
| 整体涨跌率 | (末值−初值)÷初值 | 初值 |
本页成本指题目给定的成本；不另加税费、运费、平台费等商业规则。若题目约定“利润占售价的比例”，就必须另用售价作分母，不能仍叫本页的利润率。
初始正数为 A，第一次增加比例为 p，则新量 B=A+pA=A(1+p)。再按 B 减少比例 q，得到 C=B−qB=B(1−q)。代入 B：
C=A(1+p)(1−q)
因此相对初值的净变化率是 (C−A)/A=(1+p)(1−q)−1=p−q−pq。多次变化同理：每一步都以当时的量为基准，把各步倍率依次相乘。求原值则用末值除以这些倍率的乘积。
(1+r)(1−r)=1−r²
当0<r<1，先涨后跌同样的比例，末值都低于初值，整体下降 r²。20%的平方是0.04，即4%，不是400%。在各步倍率固定、没有额外费用与取整时，交换乘法顺序不改变末值；中间值与每次变化金额仍可能不同。
先降 p 后，剩下 A(1−p)。恢复到 A，倍率为 1/(1−p)，所需涨幅为 1/(1−p)−1=p/(1−p)。例如降20%后，需涨20%÷80%=25%。反过来，先涨 p 后，恢复所需降幅是 p/(1+p)。
公式中初值与用作分母的基准必须大于0。下降比例 p<1 才能通过有限倍率恢复；下降100%变成0后，任何有限的百分比增长仍为0。
自拟题。一件商品原价100元，先涨20%，再按涨后价降20%。求最终价格、整体涨跌率，并求从最终价格恢复到100元所需的涨幅。不计费用和取整。
答案：96元，整体下降4%；需再涨1/24，约4.1667%。
自拟题。商品成本200元，按成本加价50%定标价，再按标价打八折销售。不计其他费用。求售价、利润与利润率；若坚持八折销售，至少标价多少才不亏？
答案：售价240元，利润40元，利润率20%；八折保本标价为250元。“50%−20%=30%”不对，两次百分比的基准不同。40÷240=1/6是利润占售价的比例，不是本题利润率。
自拟题。甲、乙两件商品各卖120元。甲相对自身成本赚20%，乙相对自身成本亏20%。不计其他费用。求合计盈亏与盈亏率。
答案：合计亏损10元，亏损率4%。两个20%对应不同成本，不能把百分比直接抵消。
每件售价为s>0，一件赚r、一件亏r，且0<r<1。两件成本分别为s/(1+r)、s/(1−r)，总成本为2s/(1−r²)。总售价2s，整体亏损率：
1 − 2s ÷ [2s/(1−r²)] = r²
这里r是小数或分数形式。若改成两件成本相同，各自相对成本赚r、亏r，则总售价为c(1+r)+c(1−r)=2c，恰好抵消。能否抵消取决于基准量是否相同。
某商品先按原价降10%，再按降后价涨20%，最终为216元。原价多少？最终相对原价变化多少？不计费用和取整。
倍率链是0.9×1.2=1.08。设原价A元，有1.08A=216，得A=200。最终比原价多16元，16÷200=8%。原价200元，整体涨8%。涨跌率20%−10%=10%不是正确净变化率。
成本80元的商品，按成本加价25%定标价。不计其他费用，最低打几折才能不亏？
标价80×1.25=100元。设折扣倍率为d，保本条件为100d≥80，故d≥0.8。最低打八折，最多降价20%。“加价25%，就能降25%”错误：降25%后售价75元，会亏5元。
两件商品各卖250元，一件相对自身成本赚25%，另一件亏25%。不计其他费用，整体赚还是亏？比例多少？
盈利件成本250÷1.25=200元；亏损件成本250÷0.75=1000/3元。总成本1600/3元，售价500元=1500/3元，亏100/3元。亏损率(100/3)÷(1600/3)=1/16=6.25%，也等于(25%)²。总成本有分数是自拟数学模型的精确结果，本题不做按分取整。
解题顺序：圈出每个百分比的基准 → 写出各步倍率 → 连乘或倒推 → 合计金额 → 用题目要求的基准求最终百分比。
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原价100元，涨20%：100 × 1.2 = 120元。
再降20%，以120元为基准：120 × 0.8 = 96元。
1.2 × 0.8 = 0.96，整体下降4%，不能直接抵消。
100元降20%变80元；恢复原价，要补20元。
20 ÷ 80 = 25%；恢复倍率是原倍率的倒数。
成本200元，加价50%得标价300元；八折售240元。
利润率：(240 − 200) ÷ 200 = 20%。
两件都售120元，一件赚20%，一件亏20%。
成本分别为120 ÷ 1.2 = 100，120 ÷ 0.8 = 150元。
总成本250元，售价240元；亏损率10 ÷ 250 = 4%。