例题一 · 已知总量，找统一的份
乙比甲多1/4，两人共有270本书
甲、乙各有多少本？甲比乙少几分之几？
- 标基准：“乙比甲多1/4”以甲为单位1。甲分4份，乙就是4＋1=5份。
- 由和求每份：两人合计9份，每份270÷9=30本。
- 求实际数量：甲4×30=120本，乙5×30=150本。
- 反向比较：甲比乙少(150−120)÷150=30÷150=1/5。
核查：120＋150=270，(150−120)÷120=1/4。总量提供实际尺度；不论每份多少，反向比较仍是1/5。
分数与比 · 方法讲解
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单位“1”的转换
先圈出基准，再连接倍率；反向比较要换分母。
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01
数量没变，为什么分数变了？
甲有4份，乙有5份，每份同样多。乙比甲多几分之几？反过来，甲比乙少几分之几？再设丙比乙多1/5，甲又比丙少几分之几？本演示的份只是相同大小的量，不预先指定每份几本或几千克。
第1步 / 共5步：甲是当前基准
甲4份 基准
乙5份
甲4份，乙5份。每小格同样大，先圈出甲的整条。
对应左侧4、5、6份演示
1/4
先圈出比较的基准
“乙比甲多”以甲为单位1；把甲的4份看作一个整体。
份的大小固定。换单位1时，数量和差量没有变化，变化的是分母。
02
学习准备：单位1是谁？
本页学习目标
- 从“比谁多、比谁少”找出基准量。
- 用等份图和代数说明正反比较为何不同。
- 处理连续多次基准变化，最后反向比较。
- 识别同率增减不能相互抵消的原因。
必要前置
会分数四则运算，理解“一个量的几分之几”，能用字母表示数量。单位“1”是把一个基准量看作整体，可以是120本书或一段路，不一定是1本、1米，也不是把所有实际数量改成1。
S班表示本项目的教学深度，包含基准变化、倍率链和反向比较；不是任何机构已核实的官方分班或学期课纲。
03
原理：先统一尺度，再更换整体
一、比较分率的分母，是“比”的对象
设甲的量为 A、乙的量为 B，且 A、B 都为正，使用相同计量单位。当 B>A 时，差量都是 B−A，但两种比较的基准不同：
乙比甲多的分率
(B−A) ÷ A
以甲为单位1，分母是 A。
甲比乙少的分率
(B−A) ÷ B
以乙为单位1，分母是 B。
若乙比甲多 p（p>0），则 B=A(1+p)。从同一关系求反向分率：
(B−A)/B = Ap/[A(1+p)] = p/(1+p)
这不是把 p 换一个正负号。以 p=1/4 为例，反向是 (1/4)÷(5/4)=1/5。等份图先把甲分为4份，乙便是5份，差1份；同一个差分别占4份和5份的多少，一眼可见。
二、“少几分之几”的反向也要换分母
若乙比甲少 q，且0<q<1，则 B=A(1−q)，甲比乙多的分率为：
(A−B)/B = q/(1−q)
例如乙比甲少1/6，甲比乙多 (1/6)÷(5/6)=1/5。不能把“少1/6”反向读成“多1/6”。
三、多次变化，把倍率首尾相接
若 B=A(1+p)，C=B(1+q)，代入 B 得到 C=A(1+p)(1+q)。因此：
C/A = (1+p)(1+q)
这里 p、q 是相对各自基准的增加分率；若某步减少，用1−对应分率。连续增加时，总增加分率是 p＋q＋pq，额外的 pq 来自第二次变化也作用于第一次增加的部分。只有分母对应同一个基准，分率才可以直接相加。
04
完整例题：从反向比较到连续切换
本页例题与练习均为自拟教学题，计算按精确分数核对。
例题二 · S班结构变式：连续切换后反向问
乙比甲多1/4，丙比乙多1/5，丙有180千克
三堆粮食分别有多少千克？丙比甲多几分之几？甲比丙少几分之几？
- 分别圈基准：第一句以甲为单位1，乙=甲×5/4；第二句以乙为单位1，丙=乙×6/5。
- 连接倍率：丙=甲×(5/4)×(6/5)=甲×3/2。所以甲=180÷(3/2)=120千克。
- 还原中间量：乙=120×5/4=150千克，丙=180千克。也可先倒求乙=180÷(6/5)。
- 求正反比较：丙比甲多(180−120)÷120=1/2；甲比丙少(180−120)÷180=1/3。
等份核对：甲4份、乙5份、丙6份，每份30千克。丙增加的1/5是150的1/5=30，不是120的1/5=24。直接算1/4＋1/5=9/20会漏掉第二次变化作用于第一次增加量的部分。
边界变式 · 同样的分率，能抵消吗？
一个正数量先增加1/5，再比增加后减少1/5
把原量记为 A。第一次后为6A/5，第二次后为(6A/5)×(4/5)=24A/25，因此最终比原来少1/25。第二次减少的基准更大，所以并未回到原量。一般地，先增 p、再减 p（0<p<1）的总倍率为(1+p)(1−p)=1−p²。
05
迁移练习：把每个基准写出来
练习一 · 把“少”转换为反向的“多”
乙比甲少1/6，甲乙共有330张卡片。甲乙各有多少张？甲比乙多几分之几？
展开完整解析
乙比甲少1/6，以甲为基准。甲6份、乙5份，共11份，每份330÷11=30张。甲=180张，乙=150张。
甲比乙多，以乙为基准：(180−150)÷150=1/5。核查：150÷180=5/6，符合乙比甲少1/6。反向的分母不能继续用180。
练习二 · 三次变化，中途还有减少
甲、乙、丙、丁四种材料的质量均为正。乙比甲多1/2，丙比乙少1/5，丁比丙多1/4。已知丁为90千克，求四种材料的质量，并求甲比丁少几分之几。
展开完整解析
依次写成：乙=甲×3/2，丙=乙×4/5，丁=丙×5/4。因此丁/甲=(3/2)×(4/5)×(5/4)=3/2，甲=90÷(3/2)=60千克。
乙=60×3/2=90千克，丙=90×4/5=72千克，丁=72×5/4=90千克。甲比丁少(90−60)÷90=1/3。
丙比乙少1/5之后，丁比丙多1/4恰好回到乙，因为(4/5)×(5/4)=1；能否还原要检查倍率是否互为倒数，不能只看一增一减。
06
易错对照与回顾
| 容易出错 | 正确判断 |
|---|---|
| 把“乙是甲的1/4”读成“乙比甲多1/4” | 前者倍率为1/4，后者倍率为5/4。 |
| 多1/4反过来就是少1/4 | 差相同，分母不同；反向为1/5。 |
| 连续多1/4、1/5，直接相加 | 基准不同，应乘5/4与6/5，再减1。 |
| 先增后减相同分率回到原量 | 第二次的基准已改变，乘积通常不是1。 |
| 把单位1理解成一件实物 | 它是当前整体的基准，可以有任意正数量。 |
四步检查：圈出“比谁” → 写出倍率 → 连乘或倒除 → 回到问题指定的分母。最后用实际数量或相同大小的份独立核查。
07
逐章回看
完整文字稿默认展开；点击标题可定位到视频中的对应讲解。
甲有四份，乙有五份，每份同样多。把谁看作整体，谁就是单位一。
乙比甲多几分之几？比的是甲，就用甲的四份作分母。
差一份，除以四份，乙比甲多四分之一。
反过来，甲比乙少几分之几？差没变，但基准换成乙的五份。
一份除以五份，得到五分之一。正反比较的分数并不相同。
再来一次：乙比甲多四分之一，丙比乙多五分之一。把甲画成四份，乙就是五份。
丙增加的是乙的五分之一，也是一份，所以丙有六份。两次增加的基准不同。
丙除以甲，等于四分之五乘五分之六，得到二分之三。丙比甲多二分之一。
再问甲比丙少几分之几：差两份，要除以丙的六份，所以是三分之一。
记住：先圈基准，再写倍率；连续变化乘倍率，反向比较换分母。
08
学习与图示说明
图中等长块表示相同大小的量，条长按4:5:6构成，实体厚度不表示数值。演示未指定实物单位；例题一的30本与例题二的30千克分别计算，不能混用。
本页数学结论来自所列定义、代数推导与精确分数自检；题目为自拟，没有引用未核实的题库或官方课纲。下载视频 · 下载完整离线包