例题一｜同一满锥水，换成较细圆柱
圆锥量杯内半径3 cm，内高12 cm，装满水。把水全部倒入内半径2 cm、内高15 cm的空圆柱容器。无洒漏、残留，求水深，判断是否溢出。
- 先求水量：V=π×3²×12÷3=36π cm³。
- 目标底面积：S=π×2²=4π cm²。由S×h=V，h=36π÷4π=9 cm。
- 核查容量：9<15，未溢出；容器容量为60π cm³，大于36π cm³。
- 回代：4π×9=36π。若误用12÷3=4 cm，就把目标底面积误当作原底面积9π。
立体几何 · 等积模型
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圆柱圆锥与等积转化
先找体积不变量，再让底面积决定高度。
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01
三个满锥，能装满一个圆柱吗？
圆锥量杯与圆柱容器的内底面半径均为3 cm，垂直高均为12 cm。圆柱起初为空。每次把量杯装满，再全部注入圆柱；不计洒漏、残留和壁厚。观察三次等量注入后的水深。
这是用已知体积公式生成的演示，不是实物实验或公式证明。
第1步 / 共4步：圆柱为空
累计注入0次，水量0 cm³，水深0 cm。
当前演示：等底且等高
0 cm
水深 = 水量 ÷ 底面积
0 ÷ 9π = 0
每次36π cm³，底面积9π cm²，因此每次升高4 cm。三次恰好达到容器高12 cm。
这里只对右侧圆柱算水深。圆锥中半高处的水量不能按一半容量计算。
02
前置、目标与适用范围
学习目标
- 同时核对底面积与垂直高，说明三分之一关系的条件。
- 写出倒水前后的体积等式，处理不同底面半径。
- 用“水体积＋浸入体积”处理排水，并回代检查状态。
必要前置
圆面积 S=πr²、圆柱 V=Sh、分数运算、比例与简单方程；知道体积单位是立方单位。涉及尖朝下圆锥中的部分水量时，还需相似比与体积比的立方关系。
六年级后续／S班拓展，不列六上优先，具体学期待核。S班是本项目的深度编排，不是已核实的当地官方课程。
本页的 r、R 均为半径；h、H 均为垂直于底面的高度。容器用内尺寸，实心物体用外尺寸。π保留精确形式，不必提前取3.14。
03
公式、守恒与为什么成立
圆柱与圆锥先分别求体积
圆柱：V柱=πr²H；圆锥：V锥=πr²H÷3。
圆柱沿高度的各水平截面面积都为S，体积是S×H。圆锥越靠近顶点，截面越小，不能直接拿底面积乘高。当两者等底且等高，代入公式才有 V锥=V柱÷3；不是“凡圆锥都是任意圆柱的三分之一”。圆锥高取顶点到底面所在平面的垂直距离，不取母线长。
本页将圆锥体积公式作为先学结论使用。可靠教材列有该公式；倒水可帮助理解或作实验检验，但动画里的水深本来就是按公式设定的，不能反过来作为证明。
拓展阅读：三分之一的严格依据是什么？
以下是分层夹逼证明的路线，涉及无限细分，超出本页必需前置。设圆锥底面积S、高H。从顶点向底面量距离x，相似截面的半径是底面半径的x/H，面积为S(x/H)²。
把高等分为n段，以每段上、下端的截面分别作薄圆柱，圆锥体积被夹在两个和之间。下界为 SH×(n−1)n(2n−1)/(6n³)，上界为 SH×n(n＋1)(2n＋1)/(6n³)。这里用到平方和公式：1²＋…＋n²=n(n＋1)(2n＋1)/6。
平方和公式可由 (k＋1)³−k³=3k²＋3k＋1 对k=1到n求和，再用1＋…＋n=n(n＋1)/2整理得到。上下界分别化成 SH[1/3−1/(2n)＋1/(6n²)] 和 SH[1/3＋1/(2n)＋1/(6n²)]。分层无限加细时，两者都趋近SH/3，因此 V=SH/3。严谨性来自截面积的单调性与夹逼极限，三次倒水图并不替代这一步。
倒水：水量守恒，高度通常变化
若没有损失且没有溢出，原来水的体积等于后来水的体积。满锥倒入空圆柱，设原锥半径r、高H，目标圆柱半径R，水深h：
πr²H÷3 = πR²h，所以 h = r²H÷(3R²)。
这是由体积相等推出的等积转化。容器底面越大，同样水量摊开的水深越小。算出h后必须与容器内高比较；超出内高会溢出，原等式不再描述容器最后留住的水量。
浸没：水量不变，水和物体合占的空间变化
圆柱底面积S，原水深h₀，完全浸没的不吸水物体体积V物。物体不带走或带入水，无溢出，忽略悬线和支架体积：
S×h后 = S×h₀＋V物；Δh=V物÷S。
若只部分浸入，就把V物换成浸入部分的体积。水面升高不表示水量增加，而是水与浸入物体共同占据了原来更多的空间。
04
完整例题：换底与排水
例题二｜完全浸没后的水位
圆柱容器内半径6 cm、内高12 cm，原水深7 cm。将底面半径3 cm、高6 cm的不吸水实心圆锥底面水平放入，最终完全浸没；无气泡，无洒漏。求水面上升多少、最终水深多少。
- 物体体积：V物=π×3²×6÷3=18π cm³。
- 底面积S=π×6²=36π cm²。水与物体合占空间增加18π，所以Δh=18π÷36π=1/2 cm。
- 最终水深为7＋1/2=15/2 cm（7.5 cm）。
- 核查状态：圆锥直立置底时顶点高6 cm，小于最终水深7.5 cm，完全浸没可实现；圆锥直径6 cm小于容器内直径12 cm，能放入；7.5<12，没有溢出。
- 回代守恒：36π×(15/2)−18π=252π=36π×7，原水体积保持不变。
题目若改为“空心开口锥形杯”，可能进水，排水体积就不一定等于外形圆锥体积；必须先说明物体构造与浸没状态。
05
迁移练习：先列等式再计算
例题、练习与交互题均为本页自拟教学题。
练习一｜圆柱的水，能装满圆锥吗？
圆柱量杯内半径3 cm，水深4 cm。将全部水倒入内半径3 cm、内高12 cm的空圆锥容器，无损失。水能否恰好装满？
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原水量V=π×3²×4=36π cm³。目标圆锥容量=π×3²×12÷3=36π cm³。两者相等，因此恰好装满，没有剩水。
比较的是体积，不是4与12两个高度。圆柱水体本身与圆锥容器并不等高，不能直接用“等底等高三分之一”的口号替代计算。
练习二｜熔铸后的半径
把半径3 cm、高8 cm的实心圆柱金属熔化，全部铸成高6 cm的实心圆锥。假设材料体积不变、没有损耗和空隙，求圆锥底面半径。
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原体积V=π×3²×8=72π cm³。设新半径R cm，则πR²×6÷3=72π，得到2R²=72，R²=36。
半径为正，R=6 cm。回代：π×6²×6÷3=72π。不能把高度比8:6直接当作半径比；底面积与半径平方成正比。
06
边界反例与回顾
反例一｜只等高，不等底
半径2 cm、高12 cm的圆锥体积是16π cm³；半径3 cm、高12 cm的圆柱是108π cm³。比值为4/27，不是1/3。“同高”少了“等底”这个条件。
反例二｜尖朝下的圆锥，半高不是半满
尖朝下的直圆锥，水深为总高的1/2。由相似，水面半径也是总半径的1/2；水体是相似小圆锥，体积比=(1/2)²×(1/2)=1/8。不能使用圆柱的“水深与水量成正比”。尖朝上、底部装水时水体不是相似小圆锥，要另行处理。
- 直径先除以2。把直径当半径会让面积和体积变为4倍。
- 保留π直到约掉。比较体积、求水深往往无需近似。
- 倒水检验溢出，排水检验浸没。解出的状态必须符合原题。
- 等积不等形。底面积、高度、表面积都可能变化；表面积没有在本模型中守恒。
解题顺序：标清内外尺寸与单位 → 选体积公式 → 确定守恒量 → 列等式 → 解未知量 → 检查容量、浸没与可实现性。
07
逐章回看
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圆柱和圆锥，底面半径都是三厘米，高都是十二厘米。注意，高是垂直距离，不是斜边长。
圆柱体积是一百零八派，圆锥是三十六派，单位都是立方厘米。三分之一来自体积公式，动画不是证明。
每次取一满锥水，注入等底等高的空圆柱。无损失时，每次水面升四厘米，三次正好装满。
若把一满锥水，倒入底面半径二厘米、高十五厘米的空圆柱，水量仍是三十六派。
新底面积是四派，水深就是三十六派除以四派，等于九厘米。九小于十五，不会溢出。
另一题，圆柱底面半径六厘米，原水深七厘米。放入半径三、高六厘米的不吸水实心圆锥，直到完全浸没。
物体体积是十八派。水量没增加，但占用空间增加，水面上升二分之一厘米，达到七点五厘米。
先找守恒的量，再列体积等式。底面积变化，水深不守恒；部分浸没，只计算浸入部分的体积。