工程、浓度与经济 · 比例递推
每轮剩下当前的固定比例；连续变化，把剩余倍率乘起来。
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100克盐水，质量分数20%。每轮充分混匀，倒出25克溶液，补回25克清水，再充分混匀。连续3轮后，还含多少克盐？浓度是多少？忽略蒸发、沉淀和其他损失。下面可对照“一次倒出75克再补75克清水”；两种操作总共倒出质量相同。
分3轮置换 · 初始状态
溶液100克，盐20克，质量分数20%。先充分混匀。
盐质量条：满条20克；每轮补水后总质量仍为100克。
对应左侧：分3轮置换
20克盐
初始盐量=100×20%=20克。清水不带盐；下一步要倒出均匀盐水。
操作状态与数值逐步对应。盐质量条按比例；示意容器与液面不作质量或体积刻度。
第一轮补水后，盐已从20克变为15克。第二轮倒出整杯的1/4，只带走15×1/4=3.75克盐。倒出溶液的质量相同，倒出的盐量逐轮减少。
本页为项目S班编排；不表示任何机构官方课纲。题目均为自拟。
质量分数=盐质量÷溶液总质量；百分数化分数；连续分率变化要乘倍率。分清“盐量保留原来的3/4”和“浓度是3/4”。
本页“清水”指不含盐的补液。“一轮”包括：倒出前混匀→倒出→等质量补回→再混匀。各轮开始与完成时总质量相同，中途倒出后总质量较小。
若题目给毫升或升，必须先说明密度和体积模型，不能把“等体积”自动改成“等质量”。不混匀、边进边出、只蒸发水，均需另建模型。
每轮开始溶液总质量为 M 克，含盐 s 克。混匀后倒出 d 克，0≤d≤M。倒出液的质量分数仍为 s/M，因此倒出盐量为 d×s/M 克，剩盐 s−ds/M=s(1−d/M) 克。补回 d 克清水不带盐，总质量恢复为 M 克。
sk+1 = sk(1−d/M)
这里 sk 为完成 k 轮后的盐质量；s0 为初始盐质量。令 r=1−d/M，则 0≤r≤1，连续 n 轮（n 为非负整数）：
sn = s0rn，cn = c0rn
ck=sk/M 是每轮补满后的质量分数。补满前，倒出均匀溶液只减少总量与盐量，浓度不变；补清水才降低浓度。盐量保留原来的 rn，不代表最终浓度本身等于 rn。
sn = s0∏(1−dk/M)
∏表示把第1轮到第n轮的倍率全部相乘。每轮仍补回相同质量，使总量回到M。不是把dk/M直接相加。
ck+1 = (1−a)ck + ab
a=d/M 为每轮倒出分率，b为补液的盐质量分数。剩下原盐后，还要加上d×b克新盐。a、b固定时，cn−b=(c0−b)(1−a)n。
原成分与总盐要区分：即使补入盐水，能辨认来源的“原有盐”仍每轮按 r 减少；但“所有盐的总质量”会加上新带入的盐，不能只用 s0rn。数学上标记来源是记账方式，不假设肉眼能区分盐粒。
100克、20%的盐水，每次混匀后倒出25克，再补25克清水并混匀，共3轮。求最终盐量、质量分数，以及原有盐的剩余比例。
160克、20%的盐水，每次混匀后倒出相同质量，再补回等质量清水并混匀。做2轮后剩盐18克。每轮倒出多少克？
200克、20%的盐水，每轮充分混匀倒出50克，补入50克、4%的盐水后混匀。连续2轮后浓度多少？忽略盐析和损失。
这里原有盐的剩余量是40×(3/4)²=22.5克；新补盐最后还留2×3/4+2=3.5克。两者相加26克，正好等于总盐量。
100克、20%的盐水，第一轮混匀倒出20克、补20克清水并混匀；第二轮倒出25克、补25克清水并混匀。最后含盐多少克？浓度多少？
初始盐20克。第一轮保留1−20/100=4/5，盐变为16克。第二轮分母仍是补满后的100克，保留3/4，盐变为16×3/4=12克。
总质量100克，所以最终质量分数12%。剩余比例(4/5)(3/4)=3/5。若错误地算20×(1−20%−25%)，只得11克；这把第二轮倒出分率作用在初始盐上，忽略补水后浓度变化。
一杯充分溶解的盐水初始含盐81克。每轮混匀倒出总质量的1/3，补回等质量清水再混匀。最少几轮后，盐量不超过24克？
每轮盐保留2/3。逐轮计算：81→54→36→24克。第2轮仍为36>24克，第3轮恰好24克。因此最少3轮，不能因为“不超过”而多做一轮。
每轮倍率2/3介于0和1之间，盐量严格减少；检查阈值前一轮和达到阈值的一轮，足以证明轮数最少。结论只关心原盐量，不需要另假设初始浓度。
设初始盐量为s。分两轮并在中间补水混匀，剩余s(3/4)²=9s/16；一次倒一半后补水，剩余s/2=8s/16。两者相差s/16。第二轮倒出的盐更少，所以分轮后剩得更多。同理，主例三轮各倒25克最终剩8.4375克盐；一次倒75克最终只剩5克盐。
假设上层接近清水、下层盐水较浓，从上层取25克与从下层取25克，带走盐量可能不同。此时不能由“倒出总量的1/4”推出“盐也倒出1/4”；必须补充实际取液浓度。不把分层图当成均匀混合的示意。
| 情形或错误 | 应怎样处理 |
|---|---|
| 每轮都减去初始盐的1/4 | 应减去当前盐的1/4；倍率连乘。 |
| 只倒出就说浓度降低 | 均匀溶液倒出时浓度不变；补清水后才降低。 |
| 补盐水也直接乘r | 总盐须加新带入盐；来源已标记的原盐可单独乘r。 |
| d=0 或 n=0 | 没有实际置换，盐量仍为s₀。 |
| d=M，全倒出后补清水 | 一轮后盐量为0；不要套“每轮都有正剩余”的说法。 |
| 0<d<M，有限轮 | 只要初始有盐，每轮倍率正，有限轮后仍有盐；不会恰好成为纯水。 |
| d>M、负数或未补足 | 前者不合法；未补足使下一轮总量改变，须另写分母。 |
解题顺序：明确追踪哪种成分 → 查混匀与补量 → 写本轮倒出和带入 → 逐轮递推 → 核对盐量、总量与浓度的分母。
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一百克盐水，含盐二十克。每轮先充分混匀，倒出二十五克，再补回二十五克清水。
倒出的是整杯的四分之一。混合均匀，盐也倒出当前的四分之一，留下十五克。
补回的清水不带盐。总质量恢复一百克，盐仍是十五克；再次充分混匀。
第二轮倒出的盐，是十五克的四分之一。所以盐剩十一点二五克，不再减少五克。
补水混匀后做第三轮，再留下当前盐的四分之三，得到八点四三七五克。
关键是跟踪剩余倍率。每轮都乘四分之三，三轮就乘三次，剩原有盐的六十四分之二十七。
一般地，每轮倒出总量的几分之几，当前盐就减少同样的分率。多轮应连乘剩余倍率。
同样共倒出七十五克，分三轮置换，与一次倒出七十五克，结果并不相同。
一次倒出四分之三，盐只剩五克。多轮中后几次倒出的盐更少，所以最后剩得更多。
公式需要每次倒出前充分混匀，并等量补回。这里按质量计算，不假设液面高度正比于质量。
如果补入盐水，就会带回新盐，不能只连乘。先写本轮剩盐，再加补入的盐，逐轮递推。
本页以质量分数定义和逐轮质量守恒推导，题目为自拟，数值由精确分数独立核对；未将项目S班编排视为官方课纲。盐质量条按比例；容器、颜色与液面仅表示阶段，不表示密度、真实体积或混匀速度。正文、题目条件、公式与解析均可在不运行脚本时阅读。