立体几何与空间模型 · 拓展
限制可走面，展开保长；先确认直线可行，再比较候选路线。
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一个高8厘米、底面为边长3厘米正方形的直柱。只允许在两块指定的相邻侧面上行走（含它们的边界）。每块面都是3×8长方形。A在第一块面远离公共棱的下角，B在第二块面远离公共棱的上角。A到B最短要走多少厘米？不许借道其余侧面、顶面、底面或内部。
第1步 / 共5步：明确可走的两块面。
对应左侧：3×3×8直柱的指定两面
两面
图中只画两块允许走的面。公共棱相当于可转动的铰链，不是必须绕行的障碍。
折叠投影仅示意；动画不能代替以下保长、下界与可行性的证明。最后一步另换有明确条件的新题。
学习目标：识别可走的面与跨棱次序，说明展开为什么不改变路程，并区分“某个展开图内的最短”与“全部合法路线中的最短”。本页为项目编排的S班拓展，不是六上必学课纲。
前置：长方体的面和棱、长方形与正方形面积、平面两点之间线段最短、三角形面积、全等直角三角形。数值部分用面积拼图给出3-4-5、6-8-10与5-12-13的验证，不预设已学勾股定理。
沿公共棱把一个面转到另一个面所在平面。面内线段的长度、曲线的路程及公共棱上的相接点都不变。相邻面上的路径可以在展开图上首尾相接；反过来，完全位于这两块长方形内的路径也能折回去。主例的两面拼成一个长方形，所以不会留下缺口。
任取一条只走这两面的路线，把它展开。展开后的平面路线从A连到B，所以路程至少为平面线段AB的长度。即使它多次穿过公共棱、来回折返，这个下界也成立。
主例AB是长方形对角线，整条线都在允许区域内。折回两面便得到一条合法表面路径，长度恰好达到下界。因此这是所限定两面内的全局最短路线。证明同时需要“所有路线不短于它”与“有一条合法路线达到它”。
设直角三角形两条直角边为a、b，斜边为c。四个相同三角形按同一方向分别放在边长a+b的大正方形四角，中间四边长都等于c。相邻斜边夹角为180°减去两个互余锐角，等于90°，所以中间是正方形。
c² = (a+b)² − 4×(ab÷2) = a²+b²
这给出了此处使用的平方关系的面积证明。例如6²+8²=100=10²，正长度c=10；3²+4²=25=5²，c=5。我们只选平方和为完全平方数的实例，不把一般开平方计算作为本课前置。
例题与练习均为自拟教学题。所有图只作说明，计算依据题目数据。
例题一 · 指定相邻两面
题目条件与上方演示主例相同。A为左外侧下角，B为右外侧上角；求最短路及过公共棱的位置。
核对：沿边走需3+8+3=14厘米，比10厘米长。14只是某条可行路线的长度，不能据此断言最短。
例题二 · S班结构变式：所有侧面可走
A在一个宽4厘米侧面的下左角，B在同一侧面的上右角。允许在四个侧面及其边界走，不能进入顶面、底面或内部。求最短路；绕背面会更短吗？
条带复制是对侧面绕行次数的记录，不是给蚂蚁增加新的真实面。底边与顶边允许走，但不允许跨入底面或顶面；在条带中对应高度0和3的边界。
只许走两块相邻长方形面，宽分别为2厘米、3厘米，高都是12厘米。A在宽2的面远离公共棱的下角，B在宽3的面远离公共棱的上角。求最短路，并求过公共棱点距下端的高度。
展开总宽2+3=5，高12。连接AB的线段在长方形内，所以是合法最短路。拼图：17²−4×5×12÷2=289−120=169=13²，故最短13厘米。
过公共棱时横向走了总宽的2/5；直线具有固定倾斜比例，因此上升高度12×2/5=24/5厘米。这一步需要相似三角形或直线等比例的前置知识；若尚未学习，可先把高分成5个相等小格，连接5×5格长方形的对角线，横走2格恰上升2格得到同一比例。不是12÷2=6，因为两面的宽不同。
核对：余下高度12−24/5=36/5，两个面的横向宽度比2:3，竖向高度比24:36=2:3。
长方体底面为2×4厘米，高8厘米。只走四个侧面及其边界。A在一个底面顶点，B在与它水平位置相对的顶面顶点（两点分属两条对角的竖棱）。求最短路，说明两种绕行方向是否都能达到。
沿底面周边从A的竖棱到对面竖棱，两方向横向距离都是2+4=6。侧面周长12；在复制条带中B的横坐标为6+12k，高度为8。
k=0和k=−1时横向位移分别是6、−6。两条展开直线都留在高8的侧面条带内，分别依次经过宽2与4的侧面，或宽4与2的侧面。6²+8²=10²，两条路线都长10厘米，故不是每题都只有唯一面序。
其余k的横向位移绝对值至少18，单是横向下界已超过10。折返路线也对应某个副本且不能缩短平面端点距离。因此两方向都达到全局最短10厘米。
考虑一个L形可走区域：横条为0≤x≤3、0≤y≤1，竖条为0≤x≤1、0≤y≤3，两条并集之外禁止通行。起点A=(3,1/2)，终点B=(1/2,3)。直接连线的中点是(7/4,7/4)，两个坐标都大于1，因此落在缺口，AB直线不合法。这不是让你求本题最短路，而是检验“线段最短”是否可直接使用。
在多面体展开图中同样要检查区域缺口、禁行面、跨棱的顺序以及边界接点是否能折回。二维画面上很短的线，不等于表面上存在这样一条路线。
| 容易出错 | 正确检查 |
|---|---|
| 沿着棱走最保险，所以最短 | 沿棱只是可行候选；主例14厘米大于10厘米。 |
| 空间中A到B的直线最短 | 穿过内部不符合贴面行走限制。 |
| 一个展开图算完即结束 | 先看是否已覆盖全部合法路线；例二用复制条带补齐绕行。 |
| 所有展开直线都能折回 | 必须整段位于允许区域，反例的缺口使直线失效。 |
| 公共棱交点一定是中点 | 只在主例两面等宽时成立；练习一交点高24/5厘米。 |
限面 → 保长展开 → 检查线段可行 → 比较全部候选或证明下界。“最短”需要可行路径和覆盖全部合法路径的论证；漂亮动画只负责帮助看懂对象与变化。
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蚂蚁只许走相邻的两块面。每面宽三厘米，高八厘米。
起点在左下面角，终点在右上面角，不能穿过内部。
沿公共棱展开，两块面拼成六乘八的长方形。面内路程保持不变。
任何展开后的路线，都不短于连接起终点的直线。
这条直线完全落在长方形内，能折回表面，所以它就是最短路。
不用开平方硬算。四个六乘八的直角三角形，围出边长十四的大正方形。
中间正方形面积是一百，边长十。因此最短路线是十厘米。
换个问题：只走底面边长三和四、高三厘米的长方体侧面。
起终点在同一宽四侧面的对角。两个方向展开，横向分别是四和十。
四乘三的对角线长五；另一方向单是横向就有十。多绕圈更长。
展开图上的直线若穿出可走区域，就不能当作实际路线。
记住：限制面，展开保长，检查可行，再比较。动画是示意，证明要靠推理。