工程与应用题 · 方法讲解
先统一工作量单位，再由效率关系反推。
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自拟问题：修同一条路，甲队独做12天完成，乙队独做18天完成。两队各自效率恒定，合作不互相干扰。合作需要多少天？再知道甲比乙每天多修6米，能否求出全长？工作量按修成的路长计，可连续分割。
第1步 / 共5步：整项工程设为1
整框代表整项工程；每格占1/36。甲效率1/12项/天，乙效率1/18项/天。
本题最终结论 · 各步在左侧展开
7.2天
设总量1：1÷(1/12＋1/18)=36/5。
设总量36：36÷(3＋2)=36/5。
加入每天多修6米后，才能求出真实全长216米。36份本身不表示36米。
分数四则运算、比与份数法、最小公倍数，以及“路长＝每天修的长度×天数”。本页中的小数天数表示可连续工作的时间，不把天数强行取整。
S班为本项目教学深度，不代表某地区或机构已核实的官方课纲。题目、推导与演示均为本页自拟。
工作总量 W 是完成这项任务所需的全部工作量；工作效率 r 是单位时间内完成的工作量；工作时间 t 是实际工作时长。例如 W 用“米”、r 用“米/天”、t 用“天”。在效率恒定的时段内，每天完成相同数量，累积 t 天得到：
求效率须 t>0，求时间须 r>0，工程总量取 W>0。效率为0时不能用 W÷0 求完成时间。两队修同一条路且成果不重复，在共同工作的 t 天内，总工作量为 r甲t＋r乙t＝(r甲＋r乙)t。因此合作时相加的是效率，不是独做所需天数。
把整项工程记作1项，称为工作量归一化（normalization）。如果甲独做 a 天、乙独做 b 天，效率分别为1/a项/天、1/b项/天。这里的“1”代表整项工程，不是1米、1台或1吨。
a、b 是同一工程的正的独做时间，时间单位一致；两队同时开始并持续合作。这个式子不能直接处理不同工程，也不能在中途休息、换队后仍从头套用。
对12天、18天，可把总量设为36份，得到3份/天与2份/天。设为72份也可以，效率变成6份/天与4份/天，72÷10仍是7.2天。公倍数只是计算方便，不必执着于唯一取值。
一般地，把全部工作量数值乘正数 c，效率数值也同乘 c，时间为 cW÷(cr)＝W÷r。因此只能一起换总量和效率的单位，不能只把总量乘36而保留旧效率。
同一总量下，r甲t甲＝r乙t乙。若效率比为m∶n（m、n>0），独做时间比就是n∶m；效率高者用时更短。仅知道比，不能确定真实米数。若还知道某个实际数量，就能连接“份”和实际单位。
d>0，与效率使用同一时间单位。这个式子从“同一天内两队完成量之差”推出，不是经验口诀。如果 a＝b，恒定效率应相同；再声称每天有正的效率差，条件就矛盾。
例题一 · 独做时间＋实际效率差
题目（自拟）：甲队独修同一条路12天完成，乙队独修18天完成，甲每天比乙多修6米。各队效率恒定，合作不互相干扰。求路的全长以及两队同时开工的合作时间。
答：全长216米，合作需7.2天（即7天又1/5天，按题设可连续工作计时）。
例题二 · 效率比＋时间差＋分段合作
题目（自拟）：同一工程，甲、乙效率之比为3∶2，乙独做比甲多用6天。甲先独做2天，再由两队合作直至完成。各队效率恒定且合作不互相干扰，工程可连续分割。求甲、乙各自独做时间，以及这一安排从开工到完成的总时间。
答：甲独做12天，乙独做18天；题中安排共8天。此题没有实际米数等条件，所以不能进一步确定工程的真实长度。
自拟题：修同一条路，甲独做10天、乙独做15天。各队效率恒定，甲每天比乙多修4米，合作不互相干扰。求全长和合作时间。
设全长30份，甲每天3份，乙每天2份；相差1份对应4米，因此全长30×4＝120米。甲每天12米、乙每天8米，合作每天20米，120÷20＝6天。验算12×10＝8×15＝120，12−8＝4。
答：全长120米，合作6天。也可以用实际总量 W：W(1/10−1/15)＝4。
自拟题：同一工程，甲、乙效率比为4∶3，乙独做比甲多用5天。乙先独做4天，之后两队合作。各队效率恒定，合作不互相干扰，工作量可连续分割。求全程时间。
效率比4∶3，时间比3∶4。1份时间为5天，故甲独做15天、乙独做20天。设工程60份，甲每天4份，乙每天3份。乙先做4天完成12份，剩48份，合作需48÷7＝48/7天。全程4＋48/7＝76/7天，即10又6/7天。
验算：乙先做12份，加合作7×48/7＝48份，共60份。答：76/7天。不能把48/7直接取成7天；题设允许连续工作，若另问按整天排班需要多少天，应另解释取整及最后一天的工作时间。
1项是整项工程的新单位。没有实际数量条件时，能求时间、效率比或完成比例，不能凭空求米数。
12与18的和是30，平均是15，都不是合作时间。相加的是1/12与1/18这样的每天完成比例。
同一总量下效率3∶2对应时间2∶3。先确认总量相同；做不同长度的路时，时间不一定成反比。
先独做，再合作，要把各段工作量相加。学习时先写“本段效率×本段时间”，不要把不同阶段混在同一个分母里。
完整文字稿默认可见。点击标题，可定位到视频中的对应讲解。
同一项工程，甲独做十二天，乙独做十八天。总量未知，可以先把整项工程看成一。
也可以设总量为三十六份。换的是工作量单位，工程和完成时间都没有变。
甲每天做三份，乙每天做两份。换成整项工程作单位，就是十二分之一和十八分之一。
若合作不互相干扰，每天完成五份。三十六除以五，合作需要七点二天。
再加一个条件：甲比乙每天多修六米。图中每天三份与两份，相差一份。
所以一份对应六米，整项工程三十六份，一共二百一十六米。
验算：甲每天十八米，乙每天十二米。合作每天三十米，仍需七点二天。
设总量不会凭空得到真实长度。必须有六米这样的实际数量，才能换回米。
使用前检查：同一工程、单位一致、各段效率恒定。人数增加不保证效率按人数成倍增加。
全部题目为自拟，以工作量＝效率×时间及精确分数独立复核。格子代表工作量份数，不代表施工人数或现实布局。各题默认效率恒定、合作成果不重复、无相互干扰；现实工程是否满足这些条件须另行判断。S班为项目教学深度。
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