行程模型 · 累计路程
方向会变，累计路程不清零；先还原位置，再数碰面。
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甲、乙从相距120米的A、B两端同时相向出发，速度分别为7米/秒、5米/秒。到端点立即折返，始终不停留，速度大小不变。求第二次碰面的时刻与地点。
当前步骤的解释
先标明出发端、速度、折返与停留条件。
图中的两条轨道表示同一条路，分开画只为看清两人。绿色圆为甲，棕色方块为乙。图示不是运动实测。
本页目标：区分累计路程与位置，逐段核对折返事件，解释第二次相遇，并发现同向追及对碰面次数的影响。前置：路程=速度×时间，分数四则，线段图；后半部分用余数作S班拓展。
S班为本项目教学深度编排，非官方分班课纲；题目均为自拟教学题。数学依据为下文逐段推导与精确有理数核对，不将动画作为证明。
本页“第几次碰面”计入出发后所有位置重合的时刻，含同向追及和端点相遇；不把同地出发的t=0自动计为第一次。若题目约定不同，先改计数规则。
设路长L>0，甲从左端出发，速度u>0；乙从右端出发，速度v>0。时间t从同时出发起计。到端点立即折返且无停留，则累计路程分别为ut、vt，无论折返多少次都成立。
把一人的累计路程每2L分为一组，余量r满足0≤r<2L。甲的位置x（距左端）为：r≤L时x=r；r>L时x=2L−r。乙从右端出发，位置为L−F(vt)，其中F就是上述折返规则。把距离先“展开”，再按端点折回，才得到真实位置。
第一次在10秒，甲走70米、乙走50米，合计L。随后甲在120/7秒到右端折返；乙在24秒到左端折返；在这两个折返事件之间，两人同向但还未追及。24秒时甲距A72米、乙在A，正相向而行，再过72÷12=6秒碰面。因此第二次在30秒，累计合走360米=3L。
也可核对第二次路径：设碰面点距A为x，两人此时都已经各折返一次，甲走L+(L−x)=2L−x，乙走L+x；相加正好3L。“各折返一次且此前无其他碰面”是这段路径分解的条件，不是看到“第二次”就能直接写3L。
折返函数满足F(a)=F(b)，当且仅当a−b或a+b为2L的整数倍。理由：展开线上，每个内部位置的原像为x+2kL与−x+2kL；端点两类重合。乙的位置也可写为F(L−vt)，因此碰面必满足下列至少一式：
k取整数，只保留t>0。实做时第一族按L、3L、5L…除以u+v；第二族在u≠v时按L、3L、5L…除以|u−v|。把两族时刻合并、去重、排序，再用折返位置核对。u=v时第二族无解；端点的两族时刻可能重复，只数一次。
第一族通常对应迎面碰面，第二族通常对应同向追及；在端点方向瞬间切换，不强行归类。第一族的“第n个候选时刻”=(2n−1)L/(u+v)，不一定是所有碰面的第n次。同地出发需从F(ut)=F(vt)重新推导，右侧变为2kL；有停留则累计路程不再处处等于vt，应分段计算。
例题一 · 第二次相遇的路径条件
甲从A出发，乙从B出发，速度12、8米/秒，相向匀速，端点立即折返且不停留。求出发后第二次碰面的时间与距A距离，所有碰面均计入。
核对：甲累计324米，折回后360−324=36；乙累计216米，从A返回36米。累计路程和540米=3×180米。从第一次到第二次的间隔为18秒，不能把27秒写成两次之间的时间。
例题二 · 同向追及插入碰面序列
甲从A、乙从B同时相向出发，端点立即折返且不停留。求出发后前三次碰面的时刻、地点，并判断第三次是不是迎面。
第三次累计路程和480米=4L，并非5L。这是“第n次碰面一定合走(2n−1)L”的反例。两族覆盖性来自上节的折返原像推导，不靠只看动画猜次数。
先写条件与计数规则，再核对位置。以下两题也均无停留、到端点立即折返。
甲乙从A、B两端同时相向匀速出发。第一次在距A60米处碰面；第二次在距B40米处碰面。已知第二次前两人各折返一次，且期间没有其他碰面。求路长与速度比。
设路长L米。第一次甲走60米，乙走L−60米。第二次两人累计总路程为3L，时间是第一次的3倍，甲累计180米。第二次点距B40米，甲路径为L+40，所以L+40=180，得L=140米。
第一次速度比=60:(140−60)=3:4。核对第二次：甲180米，位置280−180=100米；乙240米，位置240−140=100米，距B40米。速度差族首个事件晚于此第二次，条件一致。若缺少各折返一次及次序条件，就不能直接用此路径。
甲乙从A同时向B出发，路长120米，速度10、6米/秒，忽略出发时t=0，求第一次再次碰面的时间和距A距离。
甲12秒先到B，乙此时在72米处，两人相距48米。甲折返后相向，48÷16=3秒后碰面，故从出发起15秒，距A为6×15=90米。
展开法核对：同地模型的候选为(u+v)t=2kL或(u−v)t=2kL，最小正时刻分别为240÷16=15、240÷4=60秒，取15秒。异地的120÷16=15/2秒时甲在75米、乙45米，显然未碰面。
回顾：写清起点与规则 → 列累计路程 → 按端点折回位置 → 合并迎面与追及 → 排序、去重并核查。
点击章节标题，定位到视频中的对应讲解。
一条路长一百二十米。甲乙从两端同时出发，相向而行，速度分别为每秒七米和五米。
到端点立即折返，不停留，速度大小不变。图中两条轨道只是为了分清两人。
第一次相遇，两人的累计路程合起来是一百二十米。速度和十二，所以十秒相遇。
相遇后继续走。甲先到右端折返，乙再到左端折返。折返改变方向，不清零累计路程。
三十秒时，甲累计走二百一十米，乙走一百五十米，总共三百六十米，是三个全程。
甲从右端返回九十米，乙从左端返回三十米，两人都在距左端三十米处。这是本题第二次碰面。
但不能无条件照套。若速度改为十和六，前两次在七点五秒、二十二点五秒。
第三次却在三十秒：甲走三百米，乙走一百八十米，两人同向，在左端右侧六十米处碰面。
所以要按累计路程还原位置，合并迎面和追及事件，再排序计数。同地出发或端点停留，更要重新列过程。