例1 · 把 0.12(34) 化成最简分数
题目条件：只有 34 无限循环，12 不循环。
- 设数：x = 0.123434…。
- 对齐：100x = 12.343434…；10000x = 1234.343434…。
- 相减：9900x = 1234 − 12 = 1222。
- 约分：x = 1222/9900 = 611/4950。分子分母的最大公因数为2，约分后互质。
- 回查：611 ÷ 4950 的前两位是12，随后余数1700开始反复产生34，吻合原数。
计算与数列 · 方法讲解
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循环小数与分数互化
移动小数点，让无限尾部站到同一列。
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01
让相同的无限尾部对齐
把 x=0.12(34)=0.123434… 化成分数；只有34循环，12不循环。先越过不循环部分，再多移动一个完整循环节。
分步演示：尾部怎样对齐？
每次前进一步，观察小数点后的完整尾部。上横线用于标识循环部分，颜色只是辅助。
第1步 / 5：确定数值
x = 0.12(34) = 0.123434…；不循环部分2位，循环节2位。
演示结论
611/4950
9900x=1222，再约分。
不是删掉省略号，而是减去同一个数。
100x和10000x的小数尾部完全相同，所以两式相减能得到精确整数。循环节中的前导零必须保留。
S班 · 六年级拓展算术
移动小数点，让无限尾部站到同一列。
纯循环与混循环十进制移位余数重复A/S 是本项目的教学深度编排，不代表地区或机构官方课纲。
02
学习目标与适用条件
学完能做什么
- 准确标出不循环部分与循环节，保留前导零。
- 解释为什么要乘两个十的整数次幂，再相减。
- 由分数的长除法判断何时结束、何时开始循环。
- 识别同值异写，检查“看起来相同”的尾部是否真的对齐。
必要前置
十进制位值、小数点移位、分数约分、整数带余除法；理解用 x 代表一个确定的数。
本页先讨论 0 到 1 之间的数。带整数部分时可先分离整数；负数先处理绝对值，再补负号。所有分母都必须非零。
本页记号：0.12(34) = 0.12343434…，括号只包住无限重复的 34。12 是两位不循环部分，34 是两位循环节。0.(03) = 0.030303…，其中 03 必须按两位计。
从小数点后第一位就循环叫纯循环；先有若干不循环位再循环叫混循环。有限截断 0.1234 与无限循环 0.12(34) 不是同一个数。
适用范围：有限小数或最终循环的小数。对没有最终循环结构的无限小数，不能擅自套用“若干个9”的规则。本页不要求无穷级数或高阶数论。
03
不是消去省略号，而是消去相同的数
设 x = 0.12(34)。先移动两位，越过不循环部分；再多移动一个完整循环节。两式小数点后的数都严格等于 0.(34)。
10000x = 1234.343434…
100x = 12.343434…
────────────────────
9900x = 1222
可以把上面两行分别写成 1234 + t 与 12 + t，其中 t = 0.(34)。相减时 t − t = 0，不需要把无限位逐一减完。
把移位规则说清楚
对 x = 0.A(B)，设 A 有 m 位，B 有 n 位，n ≥ 1；A、B 的位数按原写法计算，不能丢前导零。AB 表示把两段数字依次连接形成的整数，A 表示不循环部分形成的整数。
(10m+n − 10m)x = AB − A
x = (AB − A) / [10m(10n − 1)]
分母是 n 个9，后接 m 个0；分子是“到第一个完整循环节为止的整数”减“不循环部分的整数”。纯循环时 m = 0，把 A 当作 0。得到分数后还要约分。
检查尾部的起点：对 0.12(34)，1000x 的尾部是 0.(43)，100x 的尾部是 0.(34)。两者不同，不能直接删去。多移的位数必须让循环回到相同位置。
04
先应用，再识别表示的结构
例2 · S班结构变式：不同写法，是否同一个数？
比较 a = 0.1(02)、b = 0.10(20) 与 c = 0.1(2)。先保留循环节中的0，再用分数比较。
- a = 0.1020202…，有1位不循环部分与2位循环节。1000a = 102.0202…，10a = 1.0202…，所以 990a = 101，a = 101/990。
- b = 0.1020202…，有2位不循环部分与2位循环节。10000b = 1020.2020…，100b = 10.2020…，所以 9900b = 1010，b = 101/990。
- c = 0.12222…，有1位不循环部分与1位循环节。100c − 10c = 12 − 1 = 11，所以 c = 11/90 = 121/990。
- 结论：a = b < c，且 c − a = 20/990 = 2/99。
同一个数的循环起点可以写得较晚，但必须同时调整循环节的起点；把02中的0删掉会改变数值。判断依据是展开结构或精确分数，不能只数括号里的数字。
05
余数记住了下一步的全部信息
以 7/12 为例。每次用“当前余数 × 10”除以12，商是下一位小数，新的余数继续参与下一轮。
| 轮次 | 带余除法 | 小数位 | 新余数 |
|---|---|---|---|
| 1 | 70 = 12 × 5 + 10 | 5 | 10 |
| 2 | 100 = 12 × 8 + 4 | 8 | 4 |
| 3 | 40 = 12 × 3 + 4 | 3 | 4，再次出现 |
余数4重复后，同样的除法会永远给出商3、余数4。因此 7/12 = 0.58(3)。循环从重复余数第一次出现之后产生的那一位开始，不从第一位5开始。
对分母为正整数 q 的分数，余数只能是 0、1、…、q−1。余数变成0，除法结束；若一直非零，有限种余数中必有重复，后续小数位于是循环。这个理由解释了分数的小数表示一定有限或最终循环。
边界：0.(9) 是1。
设 y = 0.(9)，10y = 9 + y，所以 9y = 9，y = 1。它不是“无限接近但始终小于1”的有限截断。有限小数还可以用末尾无限9表示；讨论有限/循环时，通常采用长除法余数为0便停止的标准写法。
06
两道练习，换两种思考方向
练习1 · 保留前导零
将 0.0(27) 化成最简分数。说明它与 0.(027) 是否相等。
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设 u = 0.0272727…，1000u = 27.2727…，10u = 0.2727…；990u = 27，得到 u = 3/110。
设 v = 0.027027…，1000v − v = 27；v = 27/999 = 1/37。两者不相等，u − v = (111 − 110)/4070 = 1/4070 > 0。前者只有27循环；后者027整体循环。
练习2 · 从余数找循环起点
不使用小数近似，求 5/28 的小数表示，指出不循环部分和最短循环节，再用移位相减回查。
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依次做带余除法：50 = 28×1+22；220 = 28×7+24；240 = 28×8+16；160 = 28×5+20；200 = 28×7+4；40 = 28×1+12；120 = 28×4+8；80 = 28×2+24。
余数序列为22、24、16、20、4、12、8、24。24第一次出现于第二位之后，直到第八位后才重复；中间余数没有重复。因此前两位17不循环，后六位857142组成最短循环节，5/28 = 0.17(857142)。
设 z = 0.17(857142)，100z = 17.857142…，100000000z = 17857142.857142…；99999900z = 17857125，故 z = 17857125/99999900 = 5/28，回查完成。
本页例题和练习为围绕上述原理自拟。
07
容易错在哪里？
| 错误做法 | 纠正与原因 |
|---|---|
| 把 0.(3) 写成 3/10 | 3/10 是截断的0.3；0.(3) = 3/9 = 1/3。 |
| 0.12(34) 的分母写99 | 99后补两个0，分子是1234−12，得到1222/9900。 |
| 0.(03) 用3/9计算 | 03有两位，分母应是99；3/99 = 1/33。 |
| 尾部都有省略号就消掉 | 需要每一位完全相同且起点对齐，如0.(34)与0.(43)就不同。 |
| 看到循环节写得长就认为数更大 | 0.(3) = 0.(33)；可先展开或化分数，表示长度不决定数值。 |
简要回顾
- 标出数值、循环节和不循环部分，按位计数并保留0。
- 越过不循环部分，再多移一个完整循环节，确认尾部相同。
- 两式相减，求出分数并约分；用长除法或精确等式回查。
- 反向长除法记录余数：0表示结束，重复表示循环。
08
逐章回看
文字稿默认展开。点击章节标题，定位到视频中的对应讲解。
把0.12(34)化成分数。只有34无限循环，12不循环。
设这个数为x。省略号表示一直重复，不能把它截成0.1234。
先乘100，小数点向右移两位，越过不循环的12。
再多移一个完整循环节，得到10000x，整数部分变成1234。
注意小数点右边：两行都是34无限循环，可以把同一尾数记成t。
上式减下式，两个t相消，9900x等于1234减12，也就是1222。
所以x等于1222除以9900，分子分母同除以2，得到611/4950。
两个9对应两位循环节，两个0对应两位不循环部分。先对齐，再相减，最后约分。
09
学习与图示说明
S班表示本项目的教学深度；A/S编排不代表佛山南海或任何机构已核实的官方分班课纲。