弧长：只算曲线
l＝(θ/360°) × 2πr
l 为弧长，单位是厘米、米等长度单位。
平面几何 · 方法讲解
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扇形的圆周份额模型
用圆心角找弧长与面积的份额；求周长时，沿真实边界数一圈。
先看份额如何对应，再沿边界检查周长；正文可独立阅读。
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01
同一个扇形，三个不同的问题
自拟题：半径 6 厘米、圆心角 120° 的普通扇形，它的弧长、面积、周长分别是多少？π 保留为精确符号。
逐步突出同一个图形的弧、区域和径向边界。
绿色：弧或区域棕色：两条径向边界
当前题：r＝6厘米，θ＝120°
先找份额，再辨认对象
第1步 / 共4步：找整圆份额
120÷360＝1/3。三块相同扇形可拼成整圆。
完整答案：弧长 4π 厘米；面积 12π 平方厘米；周长 4π＋12 厘米。右侧步骤解释的始终是左侧这个扇形。
02
为什么角度、弧长和面积共用一个份额
学习目标：能从等分与旋转解释份额关系；能区别弧长与周长；能处理环形扇形的面积差与边界。必要前置：圆心、半径、圆心角，整圆 360°，圆周长 C＝2πr、圆面积 A＝πr²，以及分数与比。
扇形由同一圆的两条半径和它们之间的一段弧围成。圆心角 θ 明确选定所取的弧；大于 180° 时取优弧所围的大扇形，不能擅自改成较小角。
- 把同一圆等分为 n 个圆心角相等的扇形。绕圆心旋转后，各块完全重合，因而弧长相等、面积相等。
- 每块角度为 360°/n，弧长为 C/n，面积为 A/n。取 m 个相邻小扇形，三个量的份额都是 m/n。
- 因此，当 θ/360°＝m/n 时，弧长与面积都占整圆的 θ/360°。本页数值题的角度均可用这种有限等分论证；推广到任意实数角度还用到连续性，此处不展开。
面积：算内部区域
S＝(θ/360°) × πr²
S 为扇形面积，单位是平方厘米、平方米等面积单位。
S＝lr/2；P＝l＋2r
前式由两份额公式消去 θ 得到，不把弧当成直线三角形的底边。P 为普通扇形周长，只在 r＞0、0°＜θ＜360° 时使用。θ 使用角度制，不能把弧度直接除以 360。
圆心角份额指向同一个参考圆。只有半径相同，两个扇形的弧长比、面积比才都等于圆心角比。面积和弧长本身单位不同，不能写成二者数值相等的通用关系。
03
完整例题：从普通扇形到环形扇形
例题一｜120°扇形的三种度量
半径6厘米、圆心角120°的扇形，求弧长、面积和周长。（自拟）
- 整圆周长 2π×6＝12π 厘米；整圆面积 π×6²＝36π 平方厘米。
- 角度份额 120/360＝1/3，所以 l＝12π×1/3＝4π 厘米，S＝36π×1/3＝12π 平方厘米。
- 外边界还有两条半径：P＝4π＋6＋6＝4π＋12 厘米。周长不是整圆周长的1/3。
例题二｜挖去同心小扇形，边界怎么数
两个同心圆半径分别为8厘米、4厘米，在同一组相夹90°的射线之间取环形扇形，求其面积和周长。（自拟）
- 同心、同角、共用射线，保证小扇形完整包含于大扇形。面积相减：S＝90/360×π(8²−4²)＝(64−16)π/4＝12π 平方厘米。
- 外弧长＝90/360×2π×8＝4π 厘米；内弧长＝90/360×2π×4＝2π 厘米。
- 两条直边各为 8−4＝4 厘米。因此 P＝4π＋2π＋4＋4＝6π＋8 厘米。
面积可以相减，周长不能直接相减：把两个扇形周长相减会错误地消掉内弧，而内弧也是环形扇形的边界。
04
迁移练习
练习一｜由弧长倒推角度与面积
半径9厘米的普通扇形，弧长为3π厘米。求圆心角、面积和周长。（自拟）
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整圆周长＝18π厘米，份额＝3π/(18π)＝1/6，所以 θ＝360°×1/6＝60°。面积 S＝π×9²×1/6＝27π/2平方厘米；也可用 S＝lr/2＝3π×9/2。周长 P＝3π＋2×9＝3π＋18厘米。注意先约去共同因子 π。
练习二｜已知周长和弧长，先恢复半径
一个普通扇形的周长为(20＋5π)厘米，弧长为5π厘米。求半径、圆心角和面积。（自拟）
查看完整解析
周长扣去弧长：2r＝(20＋5π)−5π＝20，因此 r＝10厘米。整圆周长为20π厘米，份额5π/(20π)＝1/4，所以 θ＝90°。面积 S＝π×10²/4＝25π平方厘米。检验0°＜90°＜360°，符合普通扇形的前提。
05
反例、边界与回顾
反例：同弧长不保证同面积
甲半径3厘米、角120°；乙半径6厘米、角60°。甲的弧长＝(120/360)×2π×3＝2π厘米；乙的弧长＝(60/360)×2π×6＝2π厘米。但甲面积＝3π、乙面积＝6π平方厘米。同弧长时 S＝lr/2，面积随半径成正比。同角度但半径不同，弧长按半径比变化，面积按半径平方比变化。
360°与0°需要另外判断图形
360°表示完整圆盘时，径向线在内部，周长是2πr，不能再加2r。若是一张沿半径剪开的纸，裂缝的双侧边缘是另一种物理边界问题，必须另行说明。0°是退化情形，不把 P＝l＋2r 延用到“空区域”；本页普通扇形排除两个端点。
- 先定对象：弧长是曲线，周长是全部边界，面积是区域。
- 再定基准：半径与圆心角对应同一个圆，图上角度要与取弧方向一致。
- 组合图形沿边走：环形扇形保留内弧；辅助线和内部接缝不计入外边界。
- 单位与精确性：长度与面积分清；π 保留原样。只有题目要求近似值时才统一取近似数。
解题路线：确定圆与角 → 求 θ/360° → 计算弧长与面积 → 单独追踪真实边界 → 检查范围与单位。
06
逐章回看
讲解稿默认可见。点击章节标题，定位到视频中的对应讲解。
半径六厘米的圆，取一百二十度扇形。把整圆等分成三份，它占其中一份。
三段弧旋转后完全重合，所以弧长也占三分之一。十二π乘三分之一，得到四π厘米。
三块扇形同样重合，面积也占三分之一。三十六π乘三分之一，得到十二π平方厘米。
周长却不是圆周长的三分之一。沿边界走一圈，还要走两条六厘米的半径，共四π加十二厘米。
若两段弧同长，半径不同，面积会相同吗？半径三、角一百二十度，与半径六、角六十度，弧长都是二π。
面积分别是三π和六π。因为扇形面积等于弧长乘半径的一半，同弧长时，面积随半径成正比。
再看九十度的环形扇形。大半径八，小半径四，面积取两个扇形之差，得到十二π。
周长要数外弧、内弧和两段四厘米的直边，得到六π加八厘米。内部辅助线不算边界。
最后检查范围。三百六十度是完整圆盘，没有两条径向边界，周长不能再加两倍半径。